2. Рабочая программа дисциплины «математический анализ» для бакалавров направления 080100 «Экономика»
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
1.1. Множества, операции над множествами, отображения множеств. Множество действительных и комплексных чисел.
1.2. Определение функции, область определения, способы задания, графическое изображение. Классификация функций.
1.3. Упорядоченная переменная, ее предел. Следствия из определения предела.
1.4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, их свойства. Связь бесконечно малой с бесконечно большой.
1.5. Теоремы о связи предела с бесконечно малой (прямая и обратная).
1.6. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.
1.7. Два замечательных предела.
1.8. Вычисление пределов функций. Неопределенности и их раскрытие.
1.9. Непрерывность функции в точке и на интервале. Точки разрыва, их классификация.
1.10. Сложная функция, ее непрерывность. Непрерывность элементарных функций.
1.11. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
2.1. Производная функции: определение, геометрический смысл. Уравнение касательной к графику функции.
2.2. Необходимое условие дифференцируемости функции.
2.3. Производная сложной функции.
2.4. Производные основных элементарных функций.
2.5. Правила дифференцирования функций. Таблица производных.
2.6. Дифференциал функции, его аналитический и геометрический смысл.
2.7. Производные высших порядков.
2.8. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа.
2.9. Правило Лопиталя.
2.10. Определение возрастающей и убывающей функций, примеры. Аналитические признаки возрастания и убывания функции.
2.11. Экстремум функции. Необходимое и достаточное условия существования экстремума.
2.12. Наибольшее и
наименьшее значения функции
на отрезке [a,b].
2.13. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
2.14. Асимптоты графика функции.
2.15. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ФНП)
3.1. Определение функции двух переменных, геометрический смысл.
3.2. Предел и непрерывность ФНП.
3.3. Частные приращения
функции
.
Частные производные первого порядка.
3.4. Полное приращение
и полный дифференциал функции
,
их связь.
3.5. Частные производные высших порядков.
3.6. Экстремум
функции
.
Необходимое и достаточное условия
экстремума функции двух переменных.
3.7. Условный экстремум.
3.8. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня.
3.9. Производная по направлению.
3.10. Градиент.
3.11. Метод наименьших квадратов.
4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
4.1. Первообразная. Теорема о первообразных.
4.2. Определение неопределенного интеграла. Теорема его существования. Свойства неопределенного интеграла.
4.3. Основная таблица интегралов.
4.4. Замена переменной и интегрирование по частям.
4.5. Интегрирование: а) рациональных дробей; б) простейших иррациональностей; в) тригонометрических выражений.
4.6. Определение определенного интеграла, его геометрический смысл. Теорема существования.
4.7. Свойства определенного интеграла.
4.8. Теорема о среднем значении.
4.9. Интеграл с переменным верхним пределом. Производная от интеграла по его верхнему пределу.
4.10. Вычисление определенных интегралов. Формула Ньютона – Лейбница.
4.11. Способы вычисления определенных интегралов: а) замена переменной; б) интегрирование по частям.
4.12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
4.13. Приложения определенного интеграла.
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ.
5.1. Понятие дифференциального уравнения и его решения. Общее и частное решение. Задача Коши.
5.2. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные.
5.3. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
5.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
5.6. Понятие числового ряда и его сходимости. Ряд геометрической прогрессии, обобщенный гармонический ряд.
5.7. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов.
5.8. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость.
5.9. Знакочередующиеся ряды, теорема Лейбница.
5.10. Степенные ряды, радиус сходимости, область сходимости.