Решение

Применим для сталкивающихся атомов водорода закон сохранения импульса

mv = 2mv_{1, (1)}

где mv –импульс движущегося атома;2mv₁ – суммарный импульс двух атомов после центрального неупругого столкновения, в результате которого атомы движутся вместе со скоростьюv_1.Заметим, что (1) записано до испускания одним из атомов фотона. Воспользуемся теперь законом сохранения энергии. Энергия системы двух атомов до взаимодействияЕ₁равна кинетической энергии движущегося атомаЕ_к:Е₁=Е_к. После взаимодействия и испускания фотона энергия системыЕ₂складывается из энергии фотонаЕ_ф, и кинетической энергииЕ^'_кдвухатомов, движущихся вместе со скоростьюv₁^, Е₂=Е_ф+Е^'_к. Применяя закон сохранения энергииЕ₁ =Е₂, получим:

Е_к=Е_ф+Е^'_к. (2)

_{Кинетическая энергия движущегося атома до взаимодействия Ек = mv2/2. Кинетическая} энергия двух атомов после взаимодействия Из (1) видно: v₁= v/2, тогдаЕ^'_{к = mv2/4. Сравнивая эту энергию с Ек, имеем: Е'к = Ек/2. Подставляя это в (2), получим:}

Е_к=2Е_ф. (3)

Энергия фотона, испускаемого атомом (см. (3Ф)),

Е_ф= hc/λ. (4)

Длина волны фотона λ, испускаемого атомом, находится из формулы Бальмера (11Ф):

(5)

_{Так как по условию задачи атомы до столкновения находились в основном состоянии, и один из атомов двигался с минимальной кинетической энергией, то в формуле (5) квантовые числа m = 1 и n = m + 1 = 2. В результате из (5) имеем λ = 4/(3R). Подставим это выражение в (4) и, используя полученный результат, найдем из (3) искомую кинетическую энергию:}

Е_к =3Rhс/2.

_{Учитывая табличные данные: R = 1,10}^.₁₀⁷ _{м–1; h = 6,63}^._{10–34 Дж}^._{с; с = 3,00}^._{108 м/с, получим числовой ответ:}

_Ек=32,8^.10^–19Дж=20,5 эВ.

Пример 8. Найти максимальную длину волны λ_max в ультрафиолетовой серии спектра атома водорода, для которой квантовое числоm=1. Какую минимальную скоростьv_minдолжны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами электронов появилась линия, соответствующая этой длине волны?

Решение

Длина волны, излучаемой атомом водорода, находится из формулы Бальмера (11Ф):

(1)

где R=1,10^.10⁷м^–1–постоянная Ридберга (находится из таблицы). Внашей задаче дана ультрафиолетовая серия (серия Лаймана), для которой m = 1. Следовательно, n = m + 1 = 2, 3, 4,…. Очевидно, λ = λ_max при минимальном значении числа n (см. (1)), т.е. n = 2. Тогда из (1) имеем

λ_max=4/(3R)=0,12 мкм. (2)

Для нахождения минимальной скорости электрона v_minвоспользуемся законом сохранения энергии. Кинетическая энергия электрона равна энергии излучаемого фотона. Скоростьv = v_min, при λ=λ_max

откуда, с учетом (2), найдем искомую скорость

где h–постоянная Планка;c–скорость света;m_е–масса электрона. Используя табличные данные:h=6,63^.10^–34Дж^.с;с=3,00^.10⁸м/с;m_е=9,11^.10^–31кг, получим числовой ответ:

v_min=1,9^.10⁶м/с= 1,9 Мм/с.

Пример 9. Найти длину волны де Бройля для электрона, имеющего кинетическую энергию:E₁ =100 эВ;E₂=1,0 МэВ.