Решение

R = 0,10 м,

В=50^.10^–3Тл,

I = 10 A.

F = ?

На элемент проводникас токомI, находящийся в магнитном поле с индукциейдействует сила Ампера, модуль которой (см. (18Ф))

. (1)

Направление силы dF, действующей на элемент проводникаdl, определяется по правилу левой руки (см. рис. 4). По условию задачи магнитная индукция перпендикулярна плоскости полукольца (на рисунке показана крестиком, что означает направление «от нас»). Следовательно, уголмежду элементом и вектором во всех точках проводника равен(см. рис.) и в формуле (1). Из рисунка видно также, что. В результате выражение (1) запишется

. (2)

Для нахождения модуля силы , действующей на все полукольцо, уравнение (2) нельзя интегрировать, т. к. сила, действующая на разные элементы полукольца, направлена в разные стороны и сумма модулейне равна модулю суммы () (см. рис.). Запишем проекции силы на осиXиY

,inφ. (3)

Из соображений симметрии (осью симметрии для полукольца является ось Y) следует, что для любой пары симметричных точек полукольца сумма проекцийравна нулю. Остаются только проекции, имеющие один знак (см. рис.). В результате с учетом (2) второе равенство в (3) примет следующий вид:

.

Это равенство можно интегрировать по углу в пределах от 0 до(см. рис.)

(4)

Очевидно, сумма проекций dF_y равна модулю искомой силы, действующей на полукольцо. Вычисляя интеграл (4), получим ответ:

Направление силы показано на рисунке 4.

Пример 8 Протон, ускоренный разностью потенциалов U =500 кВ, пролетает поперечное однородное магнитное поле с индукцией B=0,51 Тл. Толщина области с магнитным полемd=10 см. Найти угол α отклонения протона от первоначального направления движения.

Решение

U = 5,0.10⁵ B,

В=0,51 Тл,

d = 0,10 м.

α =?

На протон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца (20Ф), перпендикулярная скоростиv частицы и магнитной индукции. Направление силыопределяется по правилу левой руки (см. рис. 5). Так как скорость протона, то частица движется в магнитном поле по дуге окружности радиусаR(рис.). При вылете из магнитного поля (т.Сна рис. 5) скорость частицы направлена под искомым углом α к направлению первоначальной скорости. Сила Лоренца не совершает работы, так как, следовательно, кинетическая энергия протона при его движении в магнитном поле не изменяется. Отсюда следует, что модуль скорости протона будет один и тот же при в ходе и выходе из магнитного поля (на рис. точкиАиС). Учитывая, что угол между скоростью и индукцией равен, и заряд протона равен элементарному зарядуe, запишем модуль силы Лоренца

. (1)

Используем второй закон Ньютона для протона, считая его нерелятивистской частицей,

(2)

Учли нормальное ускорение протона . Из уравнения (2) имеем:

(3)

Для нахождения скорости vвоспользуемся связью работы электрического поляс приращением кинетической энергии частицыW_к2–W_к1=mv²/2 (учли, что начальная кинетическая энергия протона при движении в электрическом полеW_к1=0)

Откуда

Подставим это выражение в (3)

Из рисунка видно. Учитывая (4), найдем искомый угол:

Пример 9. Круговой контур радиусом, в котором течет токI=100 А, находится в магнитном поле с индукциейB=0,10 Тл. Плоскость контура составляет уголс линиями магнитной индукции. Какая работа совершается внешними силами, если при постоянной силе тока в контуре изменить его форму на квадрат?