Решение

Длина волны де Бройля (12Ф)

λ = h/р, (1)

Необходимо сначала установить какова скорость электрона при заданных кинетических энергиях. Для этого нужно сравнить кинетическую энергию электрона с его энергией покоя E₀ = mc² =0,51МэВ. Для энергии E₁ = 100 эВ имеем E₁ << E_0,, и электрон является нерелятивистским, т.е. его скоростьvнамного меньше скорости светасв вакууме. Следовательно, можно пользоваться ньютоновской формулой кинетической энергии

откуда импульс электрона

Подставляя это выражение в (1), найдем длину волны де Бройля для электрона, имеющего кинетическую энергию E₁,

= 1,2^.10^–10 м=120 пм.

Для энергии E₂=1,0 МэВ имеемE₂>> E₀. Следовательно, электрон является релятивистским и его импульс

В этом случае из (1) найдем длину волны де Бройля для электрона, обладающего энергией E₂,

=0, 88^.10^–12 м=0,88 пм.

Пример 10. Кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водородаE =13,6 эВ. Используя соотношение неопределенностей, найти минимальную неопределенность координаты электрона в атоме водорода.

Решение

Используем соотношение неопределенностей для проекции импульса и координаты частицы (15Ф)

∆р_x^.∆x≥ ћ, (1)

откуда минимальная неопределенность координаты

∆x_min=ћ/∆р_x. (2)

Физически разумная неопределенность проекции импульса ∆р_xне должна превышать проекции самого импульсар_x (∆р_xр_x). Очевидно также, что проекцияр_xна фиксированную осьХлежит в интервале [–р,р]. Таким образом, величины ∆р_x иродного порядка ∆р_x ~ р. Тогда (2) примет вид

∆x_min ~ћ/р. (3)

Из условия задачи видно, что кинетическая энергия электрона намного меньше его энергии покоя E₀=mc²=0, 51 МэВ. Следовательно, электрон является нерелятивистской частицей, и его импульсПодставляя этот импульс в (3), получим ответ:

Пример 11. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширинойlс бесконечно высокими стенками. Найти вероятность нахождения частицы в области 0 < x<l/3.

Решение

Искомая вероятность выражается интегралом (18Ф)

(1)

где (x)= _n(x) – собственная волновая функция частицы. Для одномерной и прямоугольной потенциальной ямы (см. (19Ф))

(2)

где n= 1, 2, 3,…. В нашей задачеn =1, т. к. частица находится в основном состоянии. Найдем вероятность нахождения частицы в области 0 <x<l/3, используя (1). В нашем случаеx₁=0, x₂=l/3. Тогда с учетом (2)

(3)

Используя соотношение sin²α=(1–cos2α)/2, где α=πx/l, вычислим интеграл (3):

Нашли вероятность нахождения частицы в области 0 < x<l/3.

Пример 12.Сколько ядер распадается в радиоактивном изотопе церия массойm =1,0 мг в течение времениt₁ = 1,0c,t₂=1,0 год? Период полураспада церияТ=285 сут.

Решение

Число ядер, распавшихся за время t,находится по формуле

∆N=N₀(1–е^{– λt}). (1)

Здесь N₀–число ядер в начальный момент времени, которое можно выразить через массу изотопаm, постоянную АвогадроN_A=6,02^.10²³моль^–1и молярную массу церияМ=0,14 моль^–1

(2)

Постоянная распада λ в формуле (1) равна (см. (24Ф))

λ =ln2/Т. (3)

Если промежуток времени tнамного меньше периода полураспадаТ, то число распавшихся за это время ядер находиться по формуле (см. (25Ф))

∆N =λN₀ t. (4)

Таким образом, для времени t= t₁ << Tможно пользоваться формулой (4), которая с учетом (2) и (3), примет вид:

(5)

Подставляя сюда числовые данные, получим:

∆N₁ =1,2^.10¹² ядер.

Для времени распада t₂=1,0 год необходимо пользоваться формулой (1), которая с учетом (2) и (3) запишется:

(6)

Для упрощения числового расчета воспользуемся соотношением e^ln2=2. Тогда

Произведя вычисления, найдем:

∆N₂ = 2,5^.10¹⁸ядер.

Пример 13.Найти массуm₁изотопа урана²³⁸U, имеющего такую же активность, как изотоп стронция⁹⁰Srмассойm₂ =1,00 мг.