Примеры решения задач

Пример 1.К источнику тока с э. д. с.и и внутренним сопротивлениемподключен нагревательный прибор, который потребляет тепловую мощность. Найти силу тока в цепи и к. п. д. η источника тока.

Решение

,

,

.

?=?

Силу тока выразим по закону Ома для замкнутой цепи, который получается из закона для неоднородного участка цепи (5Ф). Для нашей задачи разность потенциалов φ₁–φ₂=0 и сопротивлениеR₁₂=R+r.

Сопротивление внешней цепи найдем из первой формулы мощности (11Ф)

Подставляя (2) в (1), получим квадратное уравнение относительно тока :

Решая это квадратное уравнение, найдем силу тока в цепи:

;. (3)

Два значения тока соответствуют двум сопротивлениям внешней цепи (см. (2))

Очевидно, величина есть полная мощность, выделяемая во всей цепи. Тогда к. п. д. источника тока

Учитывая (3) и условие задачи, получим:

Пример 2.Два последовательно соединенных источника тока имеют одинаковые э. д. с. и разные внутренние сопротивленияи. При каком внешнем сопротивленииразность потенциалов на полюсах источника с внутренним сопротивлениембудет равна нулю?

,

,

_{= 0.}

=?

Решение

Последовательное соединение источников тока, замкнутых на внешнее сопротивление , показано на рис. 1. Используем закон Ома для неоднородного участка цепи (обобщенный закон Ома) (5Ф). Выбранные направления обхода участков цепи (на рис. показаны стрелкой) совпадают с направлением действия сторонних сил и с направлением тока в цепи. Следовательно, э. д. с.и. Используя эти правила знаков и обозначения на рисунке, запишем закон Ома для участков (1–2), (2–3) и (3–1):

, (1)

, (2)

, (3)

где потенциалы в точках1,2,3(см. рис. 1). Складывая уравнения (1)–(3), получим:

Учитывая условие задачи , выразим токиз (1)

Из уравнений (4), (5) найдем искомое внешнее сопротивление

.

Для нахождения тока (см. (4)) можно использовать также второй закон Кирхгофа (10Ф). Этот закон выводится из обобщенного закона Ома (в нашей задаче из уравнений (1)–(3)).

Пример 3.Источник тока замыкается один раз на резистор сопротивлением, другой–на резистор сопротивлениемR₂ =6 Ом, в обоих случаях на них выделяется одинаковая мощность. При каком сопротивлениимощность будет максимальной?

Решение

=,

=,

=,

=.

=?

Используем формулу мощности (11Ф)

(1)

Сила тока находится из закона Ома для замкнутой цепи

где э. д. с. источника тока;внешнее сопротивление;внутренне сопротивление источника. Учитывая (2), имеем из (1):

Получили зависимость мощности от внешнего сопротивления. По условию задачи мощности, выделяемые на резисторах сопро-

тивлением и, равны:или, учитывая (3), получим:

Решая это уравнение относительно внутреннего сопротивления r, получим:

Для нахождения сопротивления , при котором мощность будет максимальной, необходимо зависимость (3), или функциюисследовать на экстремум, т. е. производную мощностипо сопротивлениюприравнять нулю

Откуда имеем , или, учитывая (4), найдем сопротивление, при котором мощность будет максимальной

.

Пример 4.От источника тока с э. д. с.и внутренним сопротивлениемнеобходимо протянуть к потребителю двухпроводную линию на расстояние100 м. Определить наименьшее сечение алюминиевого провода, необходимого для этого, если максимальная мощность потребителя22 кВт и он рассчитан на напряжение220 В.