Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

99

Это и есть искомое уравнение прямой и называется каноническим уравнени-

ем прямой.

	y		M
		My0
			s
L		0	x

Рис. 1.9.2

Геометрический смысл канонического уравнения прямой заключается в том, что оно описывает прямую, проходящую через точку M0(x0; y0) парал-

лельно вектору s =(l; m), который называется направляющим вектором прямой:

Замечание. В каноническом уравнении один из знаменателей l или m может оказаться равным нулю. Любую пропорцию вида ba dc договарива-

ются понимать как равенство ad=bc. Тогда обращение в нуль одного из знаменателей означает обращение в нуль соответствующего числителя. Пусть, например, l=0, то, поскольку m 0, из равенства l(y – y0) = m(x – x0) заключаем,

что x – x0 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Исходя из геомет-

рического смысла канонического уравнения, легко получить уравнение прямой, проходящей через две точки: M1(x1; y1) и M2(x2; y2). Так как за направ-

ляющий вектор такой прямой можно взять вектор s = М1М2 =(x2–x1, y2–y1), и

учитывая, что прямая проходит через точку M1, получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

x x1			y y1			.	(1.9.4)
x	x		y	2	y
2	1				1

Параметрические уравнения прямой. В механике уравнение линии обычно задают в виде функций координат от времени: x=x(t), y=y(t). Такое задание линии называется параметрическим. Параметрические уравнения прямой элементарно получаются из канонического уравнения, если за параметр t обозначить левую и правую части уравнения (1.9.3). Тогда получим

x x0 lt,y y0 mt.

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой. Уравнение прямой «в отрезках». Рассмотрим полное общее уравнение

прямой

Ax + By + C = 0,

100

где A, B, C 0. Это уравнение можно записать в виде: ax by 1,

где a = – C/A и b = – C/B. Данное уравнение называется уравнением прямой «в отрезках». Геометрический смысл параметров a и b состоит в том, что они равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях координат: Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат).

Нормальное уравнение прямой. Пусть дано общее уравнение прямой

L: Ax + By + C = 0,

где n =(A; B) – нормальный вектор прямой. Нормируем этот вектор, разделив его на длину этого вектора, т.е. рассмотрим орт вектора n0 :

где		n0	= (cos ; cos ),
			A			B
cosα				, cosβ
	A2		B2			A2 B2

– направляющие косинусы вектора n0 . Тогда общее уравнение примет вид

xcosα ycosβ	C	0.
	A2 B2

Выберем какую-либо точку M(x; y) L. Тогда проекция радиус-вектора этой точки OM на вектор n по модулю будет равна

Прn OM OP p,

где p – расстояние от цента координат до прямой. Поскольку

Прn OM xcosα y cosβ,

то уравнение прямой можно записать в виде xcos + ycos – p = 0,

где p | C | A2 B2 , и называется нормальным (или нормированным)

уравнением прямой.

Для того. чтобы перейти от общего уравнения прямой к нормальному,

его нужно умножить на величину μ	1	, называемую нормирующим
	A2 B2

множителем. Знак «+» или «–» выбирается таким образом, чтобы последнее слагаемое было отрицательным

Нормальное уравнение прямой позволяет найти расстояние от точки до прямой. Формула для нахождения расстояния от точки М0(x0; y0) до прямой L записывается следующим образом:

101
d =ρ(M0 , L)		x0 cosα y0 cosβ p		=		Ах0	Ву0	С		.
							А2 В2

Взаимное расположение прямых на плоскости. Исходя из геометри-

ческого смысла общего или канонического уравнения прямой можно легко получить условия, характеризующие взаимное расположение двух прямых, поскольку такая задача сводится к аналогичной задаче для нормальных или направляющих векторов.

Пусть две прямые заданы общими:

L1: A1x + B1y + C1 = 0 и L2: A2x + B2y + C2 = 0,

или каноническими уравнениями:

L1:	x x1		y y1	и L2:	x x2			y y2	.
	l		m
					l	2		m
	1	1					2

Тогда нормальными векторами этих векторов будут векторы n1 =(A1;B1)

и n2 =(A2;B2), а направляющими s1 =(l1; m1) и s2 =(l2; m2).

На плоскости две прямые могут быть: а) либо параллельны, б) либо совпадать, в) либо пересекаться.

Условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию колли-

неарности векторов n 1 и n 2, или векторов s 1 и s 2. Как известно, два вектора коллинеарны, если пропорциональны их координаты. Тогда условие параллельности двух прямых будет выглядеть следующим образом:

||

А1

В1

,

n

n

1

2

А2

B2

L1 || L2

l1

m1

||

.

s

s

2

1

l2

m2

Две прямые совпадают, если

A1

B1

C1 .

B

A

C

2

2

2

Две прямые пересекаются, если прямые непараллельны, т.е. если

A1

B1

или

l1

m1

.

A

B

l

m

2

2

2

2

Если две прямые пересекаются, то тогда можно определить угол между прямыми на плоскости. Поскольку пересекающиеся прямые образуют

два угла, в сумме дающие 180o, то обычно за угол между прямыми принимают острый угол. Данная задача сводится к определению угла между нормальными или направляющими векторами. В результате получаем

												102
					n											n												A A B B
				1								2
																													1 2	1		2					,
																											A2		B2	A2			B2
			n1																n2
																										1			1		2				2
cos																																					(1.9.5)
							s1													s2								l l m m
																													1 2	1	2					.
								s1											s2								l2		m2	l2	m2
																										1			1	2		2

Модули в полученных формулах стоят потому, что cos 0, т.к. , по определению, острый.

Выделим один случай пересекающихся прямых – это случай взаимно перпендикулярных прямых. Условие перпендикулярности двух прямых эк-

вивалентно условию ортогональности нормальных векторов. В результате получим

n2

n1 n2 0

A1A2 B1B2 0,

L1

L2

n1

s

s s 0

l l

m m 0.

s

2

1

1

2

1 2

1

2

Исследуем теперь взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентами:

L1: y = k1x+b1, L2: y = k2x+b2.

Для этого сначала определим угол между этими прямыми. Если 1 и 2 – углы наклона прямых L1 и L2 к оси Ox, то угол между прямыми, очевидно, ра-

вен = 2– 1. Отсюда, используя тригонометрические формулы, получим

tg tg(		2	)			tg 2 tg 1		k2 k1	.
1				1		tg 1 tg 2		1 k1 k2

Если поменять местами k1 и k2, то тангенс изменит знак, и мы получим значение второго угла между прямыми. Поскольку за угол между прямыми принимается острый угол, то

tg			k2 k1				.	(1.9.6)
	1
			k	k	2
			1

Прямые параллельны тогда, когда тангенс угла между ними равен ну-

лю, т.е. условие параллельности имеет вид

L1 || L2 k1 = k2.

Условие перпендикулярности прямых отвечает случаю, когда тангенс угла обращается в бесконечность, т.е. когда знаменатель обращается в нуль, т.е. 1+k1k2 = 0. Отсюда условие перпендикулярности имеет вид

L1 L2 k1 = 1 . k2

Прежде чем приступить к решению конкретных задач, подведем некоторые итоги. Чтобы написать уравнение прямой, нужно знать точку, которая принадлежит данной прямой, и вектор, который перпендикулярен или парал-

103

лелен данной прямой. Точка, как правило, уже известна или ее довольно легко найти. Трудности вызывает нахождение вектора. Если окажется, что найденный вектор параллелен данной прямой, то для написания уравнения прямой следует воспользоваться канонической формой уравнения прямой, если этот вектор – перпендикулярен, то – общей формой.

Примеры

1. Заданы точка M(–1; 2) и прямая L: –2x+y–1=0. Написать уравнения прямых L1 и L2, проходящих через точку M и L1 || L и L2 L.

Решение

Сделаем чертеж (рис.1.9.3). Чтобы построить прямую, достаточно знать две ее точки. Очевидно, что A(0; 1), B(1; 3) L. Через найденные точки проводим прямую. Прямая L задана общим уравнением прямой, тогда ее нор-

мальный вектор имеет координаты n = (–2; 1). Поскольку L1 || L L1 n , то вектор n будет нормальным вектором также и для прямой L1.

		y	L
	L2			L1
		M

n

0

x

Рис.1.9.3

Тогда используя общий вид (1.9.1) уравнения прямой, получим

–2(x + 1) + (y – 2) = 0,

или

L1: –2x + y – 4 = 0.

Поскольку L2 L L2 || n , то вектор n будет направляющим вектором L2. Тогда используя канонический вид (1.9.3) уравнения прямой, получим

	x 1			y 2	,
	2
			1
или

L2: x + 2y – 3 = 0.

2. Найти координаты точки М, лежащей на одной прямой с точками A(–1; 1) и B(1; 5), если абсцисса и ордината этой точки равны между собой.

Решение. Найдем уравнение прямой AB, воспользовавшись формулой

(1.9.4) для прямой, проходящей через две точки:
	x 1			y 1			x 1			y 1		4x 2 y 6 0,
	1 1			5 1			2
									4

или

AB: 2x – y + 3 = 0.

и L2: y = 3x + 1.

104

Пусть исходная точка имеет координаты M(a; a). Так как она принадлежит прямой AB, то ее координаты должны удовлетворять уравнению, т.е.

2a–a+3=0 a= –3.

Таким образом, искомая точка имеет координаты М(–3; –3). 3. Найти угол между прямыми

L1: x 1 y 2 1 2

Решение

Запишем данные уравнения в общей форме:

L1: 2x – y – 4 = 0 и L2: 3x – y + 1 = 0.

Тогда, проводя расчеты по формуле (1.9.5), получим

cos	6 1			7	8o .
	5 10		5	2

4. Написать уравнение прямой L1, проходящей через точку М(2; 1) под углом

45o к прямой L2: 2x + 3y + 4 = 0.

Решение

Поскольку tg 45o=1, то используя формулу (1.9.6) получим

					1						k2 k1					.
										1 k		k		2
										1
Так как коэффициент прямой L2 равен k2= –2/3, то получим
				2 k												k1 1/ 5,
		1		3	1												.
				1	2											k1 5.
Далее b'	и b'				3 k1
		находим из условия,												что прямые проходят через точку
1	2
М(2; 1). Следовательно, задача имеет два решения:
		L' :		y 1 x					3 ,			L''	: y = –5x+11.
		1			5				5			1

5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(8; 6) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью в 12 кв. ед.

Решение

Искомая прямая и координатные оси образуют прямоугольный треугольник, площадь которого равна S 12 ab 12 .

Отсюда получаем

|ab| = 24.

Поскольку прямая проходит через точку М, то получим второе уравнение, для нахождения параметров a и b:

105

ax by 1 8a b6 1.

Пусть ab>0, тогда

|ab| = 24 ab = 24 a = 24/b.

Подставим выражение для параметра a во второе уравнение:

13 b b6 1 b2 – 3b + 18 = 0.

Поскольку дискриминант D = 9–72 = –63 < 0, то полученное квадратное уравнение не имеет решений. Следовательно, искомой прямой с параметрами ab > 0 не существует.

Пусть ab<0, тогда

|ab| = 24 ab = –24 a = –24/b.

Подставляя это выражение для параметра a во второе уравнение и преобразуя его, получим квадратное уравнение:

–b2 – b + 18 = 0 b1 = –6, b2 = 3.

Используя равенство a = –24/b, получим

a1 = 4, a2 = –8.

Таким образом, существует две прямых, удовлетворяющих условиям задачи:

L1: 4x 6y 1 и L2: 8x 3y 1. 6. Найти расстояние между параллельными прямыми:

L1: x + y – 1=0 и L2: 2x + 2y + 3 = 0.

Решение

Для того чтобы найти расстояние между прямыми, выберем какуюлибо точку на прямой L1. Пусть x = 0, тогда y = 1. Следовательно, точка M(0;1) L1. Тогда расстояние между прямыми будет равно расстоянию от точки М до прямой L2. Воспользуемся для расчетов формулой нахождения расстояния от точки до прямой:

d = (L1, L2 ) (M , L2 )		Ах0 Ву0 С				2 0	2 1 3			5	1,77 .
		А2 В2				22 22				2 2

1.9.2. Прямая в пространстве. Основные задачи на прямую и плоскость

Из геометрических свойств плоскостей известно, что пересечением двух плоскостей является прямая. Это означает, что любую прямую в пространстве можно задать в виде пересечения каких-либо двух плоскостей. Отсюда следует, что любая прямая в декартовой системе координат задается системой двух линейных уравнений:

		106
	A x B y C z D 0,				(1.9.7)
	1	1	1	1
A2x B2 y C2 z D2 0,

которые называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Однако при решении многих задач более удобным является канонические уравнения прямой. Вид этих уравнений полностью аналогичен каноническому уравнению прямой на плоскости и выводится также:

x x0		y y0		z z0	.	(1.9.8)
l		m
				n

Геометрический смысл этого уравнения состоит в том, что оно описывает

прямую проходящую через точку M(x0; y0; z0) параллельно вектору s =(l; m; n)

– направляющему вектору прямой:

M(x0; y0; z0) L || s = (l; m; n).

Отметим, что коэффициенты l, m и n могут равняться нулю. Это означает, что и соответствующий числитель тоже будет равен нулю и прямая будет перпендикулярна соответствующей оси координат.

Пример

Составить канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями:

x 3y 2z 5 0,

L: 5x y 2z 3 0.

Решение

Чтобы составить канонические уравнения (1.9.8) прямой нужно знать какую-либо точку на этой прямой и какой-либо направляющий вектор. Найдем координаты точки, для этого нужно найти общее решение данной системы двух уравнений, а затем выбрать какое-либо частное решение. Мы поступим иначе, сразу выберем частное решение, для этого придадим какой-либо переменной числовое значение. Тогда останется только две переменные и система станет определенной. Решая полученную систему найдем числовые значения оставшихся переменных, а следовательно и координаты точки на заданной прямой. Пусть x = 0, тогда

3y 2z 5 0,			y 1,
	0,
y 2z 3			z 1.

Таким образом, M(0; 1; 1) L. В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор

s = n1 n2 ,

где n1 и n2 – направляющие векторы плоскостей, входящих в общие уравнения (1.9.7) прямой. Так как

n1 = (1; 3; 2), n2 = (5; 1; 2),

s2

													107
то
								i		j				k
		=					1			3			2			4			8			14			(4;8; 14).
	s		n1		n2												i				j			k
							5			1			2
Таким образом,
												x				y 1				z 1
									L:														.
										4
																8				14

Зная геометрический смысл канонического уравнения можно легко записать условия параллельности перпендикулярности двух прямых, поскольку такая задача сводится к аналогичной задаче для соответствующих направляющих векторов (см. как это записывалось для прямых на плоскости). Легко

записать уравнение прямой

проходящей

через

две точки M(x1;y1;,z1) и

M(x2;y2;,z2):

x x1

y y1

z z1

.

x

x

y

2

y

z

2

z

2

1

1

1

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекаться и скрещиваться (частный случай, когда прямые сливаются, мы рассматривать не будем). Если две прямые не параллельны, то они либо пересекаются, либо скрещиваются. Поясним, как это определить.

Пусть заданы канонические уравнения непараллельных прямых:

L1:

x x1

y y1

z z1

и L2:

x x2

y y2

z z2

(рис. 1.9.4).

l

m

n

m

n

l

2

1

1

1

2

2

s1

M1

L1

L2

M2

Рис. 1.9.4

Рассмотрим три вектора:

s1 || L1, s2 || L2, M1M2 ,

где М1 L1, М2 L2.Тогда, если прямые пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Следовательно, рассматриваемые три вектора будут компланарными. Это означает, что их смешанное произведение равно нулю. Таким об-

разом, условие пересечения двух прямых L1 и L2 ( s1 P s2 ) будет иметь вид

108
						l1	m1	n1
						l2	m2	n2	0.
s1		s2		М1М2
						x2 x1	y2 y1	z2 z1

Если это условие не выполняется, то прямые скрещиваются.

Прямые в пространстве являются параллельными, если выполняются следующие условия

P

, но

||

l1

m1

n1

.

M M

2

s

s

s

1

1

1

2

l2

m2

n2

Рассмотримосновные задачи на прямую и плоскость.

1.Найти координаты точки Пересечения плоскости P: 2x+y–z–4=0 и прямой

L:	x 4		y			z 4	, а также угол между ними.
	2		1
					2

Решение

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Однако гораздо проще определить угол между век-

торами n и s . Поскольку

n ^ s = 90o ,

то

|cos( n ^ s )| = |cos(90o )| = sin (рис. 1.9.5).

n

s

P

Рис. 1.9.5

Отсюда следует формула для определения угла между плоскостью и

прямой:

sin

s

n

.

(1.9.9)

s

n

В нашем случае

= (2; –1; 2) и

= (2; 1; –1).

s

n

Тогда, вычисляя по формуле (1.9.9), получаем

sin

4 1 2

1

8o .

6

9

3 6

Чтобы найти точку пересечения L и P, нужно решить систему трех уравнений (одно уравнения дает уравнение плоскости и два уравнения дают