Решение типовых задач

Задача 1. Имеются экспериментальные данные исследования влияния времени вулканизации на сопротивление резины разрыву (табл. 1).Провести на основе данных исследование взаимосвязи сопротивления резины разрыву и времени её вулканизации; аналитическое выражение связи проверить на достоверность.

Таблица 1

№ анализа	Время вулканизации (мин.), х	Сопротивление разрыву, кг/см^2	№ анализа	Время вулканизации (мин.), х	Сопротивление разрыву, кг/см^2
1	35	162	8	33	160
2	40	174	9	36	167
3	30	155	10	31	153
4	42	172	11	36	163
5	37	173	12	43	173
6	38	166	13	39	168
7	34	162	14	44	176

Решение

Результативный признак – сопротивление разрыву (у),факторный признак – время вулканизации (х).

1. Первичная информация проверяется на однородность по признаку – фактору с помощью коэффициента вариации.

Для расчета использована вспомогательная табл. 2.

Таблица 2

№ анализа	Время вулканизации (мин.), х			№ анализа	Время вулканизации (мин.), х
1 2 3 4 5 6 7	35 40 30 42 37 38 34	-2 +3 -7 +5 0 +1 -3	4 9 49 25 0 1 9	8 9 10 11 12 13 14	33 36 31 36 43 39 44	-4 -1 -6 -1 +6 +2 -7	16 1 36 1 36 4 49
Итого	-	-	-	-	-	0	240

Следовательно, совокупность можно считать однородной.

2. Проверка первичной информации на нормальность распределения с помощью правила «трех сигм» (табл. 3).

Таблица 3

Интервалы значений признака х, мин.	Число единиц, входящих в интервал	Удельный вес числа единиц, входящих в интервал, в общем их числе, %	Удельный вес числа единиц, входящих в интервал, при нормальном их распределении, %
32,29 – 41,1 28,8 – 45,2 24,7 – 49,3	9 14 14	64,3 100,0 100,	68, 95.4 99.7

Интервалы для значений признака – фактора:

т.е. (37,0-4,1) - (37,0+4,1); (37,0-8,2)- (37,0+8,.2); (37,0-12,3)- (37,0+12,3).

Первичная информация по признаку – фактору не подчиняется закону нормального распределения, однако это не является основанием для отказа использования корреляционно – регрессионного анализа.

3. Исключение из первичной информации резко выделяющихся единиц, которые по признаку – фактору не попадают в интервал т.е. по имеющимся данным:

Резко выделяющихся единиц в первичной информации нет.

4. Для установления факта наличия связи производится аналитическая группировка по признаку – фактору. Группировка выполняется при равных интервалах и числе групп 4. Величина интервала определяется по формуле: где m – число групп. Величина интервала принимается равной 4, мин. Ниже построена групповая таблица (табл.4).

Таблица 4

Зависимость сопротивления резины разрыву от времени вулканизации

Время вулканизации, мин.	Число анализов.		Средняя величина сопротивления разрыву, кг/см
30-34 34-38 38-42 42-46	3 5 3 3	468 827 508 521	156.0 165.4 169.3 173.7
итого	14	2324	-

Для заполнения групповой таблицы 4 была использована вспомогательная таблица 5.

Таблица 5

Время вулканизации, мин.	30-34	34-38	38-42	42-46
№ анализа	3,8,10	1,5,7,9,11	2,6,13	4,12,14
Сопротивление разрыву, кг/см	155,160,153	162,173,162,167, 163	174,166,168	172,173,176

Как видно из данных групповой таблицы (см. табл. 4), с увеличением времени вулканизации возрастает величина сопротивления резины разрыву.

5. Для измерения степени тесноты связи используется линейный коэффициент корреляции:

Для расчета r использована вспомогательная таблица (табл.6).

Таблица 6

Вспомогательная таблица для расчета коэффициента корреляции и уравнения связи

№ анализа	Время вулканизации (мин), х	Сопротивление разрыву, кг/см,у	х	у	ху			()
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14	35 40 30 42 37 38 34 33 36 31 36 43 39 44	162 174 155 172 173 166 162 160 167 153 163 173 168 176	1225 1600 900 1764 1369 1444 1156 1089 1296 961 1296 1849 1521 1936	26244 30276 24025 29584 29929 27556 26244 25600 27889 23409 26569 29929 28224 30976	5670 6960 4650 7224 6401 6308 5508 5280 6012 4743 5868 7439 6552 7744	163.0 170.5 155.5 173.5 166.0 167.5 161.5 160.0 164.5 157.0 164.5 175.0 169.0 176.5	-1.0 +3.5 -0.5 -.1.5 +7.0 -1.5 +0.5 0.0 +2.5 -4.0 -1.5 -2.0 -1.0 -0.5	1.00 12.25 0.25 2.25 49.00 2.25 0.25 0.00 6.25 16.00 2.25 4.00 1.00 0.25
итого	518	2324	19406	338645	86359	-	-	97.00

Значение линейного коэффициента корреляции (r=+0.925) свидетельствует о наличии прямой и очень тесной связи.

Средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции

По таблице значений α-процентных пределов t_α,k в зависимости от k степеней свободы и заданного уровня значимости α для распределения Стьюдента определяется критерий t Стьюдента при Р=0,5 и k=14-2; =2,179.

(8.41>2.179).

Следовательно, можно утверждать существенность коэффициента корреляции.

6.Определяется модель связи. Используем функцию

Для возможности использования линейной функции определяется величина

, которая сравнивается с F – критерием.

Для расчета исчисляется корреляционное отношение

Следовательно, корреляционное отношение показывает наличие достаточно тесной связи.

=

При вероятности Р=0.95 () k и k. Так как меньше, то возможность использования линейной функции не опровергается.

Средняя квадратическая ошибка уравнения

(см. табл. 6). В формуле - значения результативного признака, рассчитанные по уравнению связи. Так, для анализа №1 ; для остальных анализов расчет выполняется аналогично. Результаты расчета записаны в табл.6.

Полученное отношение значительно меньше 15%. Поэтому уравнение достаточно хорошо отражает взаимосвязь двух признаков и может быть использовано в работе.