5.5. Методы интегрирования определенных интегралов

При вычислении определенных интегралов используются те же методы, что и при нахождении неопределенных интегралов. Однако, имеются некоторые особенности.

1. Замена переменной в определенном интеграле отличается от замены переменной в неопределенном интеграле тем, что в результате замены изменяются пределы интегрирования и нет необходимости выполнять обратную замену. Пусть функция непрерывна на отрезке , функция имеет непрерывную производную на отрезке . Тогда

.

Пример 5.1.

.

2. Интегрирование по частям.

Теорема 5.1. Если функции и дифференцируемые и имеют непрерывные производные на отрезке , то

.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как , то функция является первообразной для функции и по формуле Ньютона-Лейбница .

Отсюда, используя свойства определенного интеграла, получаем

или

.

Пример 5.2. Найти , где .

Используем интегрирование по частям для нахождения рекуррентной формулы для вычисления интегралов вида при любом n  N.

.

Учтем, что , получим

.

Получили уравнение относительно интеграла

.

Отсюда получаем рекуррентную формулу

.

Используя данную формулу, можно вычислить интеграл вида при любой степени n подынтегральной функции. Рассмотрим два случая, когда n – четное и когда n – нечетное.

1. Если четное, то .

Найдем ,

.

Например, .

2. Если +1 нечетное, то .

Найдем ,

.

Например, .

5.6. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

В рассмотренных выше определенных интегралах вида предполагалось, что функция является непрерывной, пределы интегрирования являются конечными величинами. Однако, в прикладных задачах, решаемых с помощью методов математического анализа, часто приходится находить интегралы с бесконечными пределами и от разрывных функций. Такие интегралы называются несобственными.

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования определяются следующим образом.

, ,

, где .

Если в несобственном интеграле пределы существуют (сходятся), то интеграл называется сходящимся, иначе – расходящимся.

Для данных несобственных интегралов справедливы обобщенные формулы Ньютона-Лейбница

;

;

.

Геометрический смысл несобственного интеграла состоит в том, что он определяет площадь криволинейной трапеции, неограниченной на бесконечности. Для интеграла она имеет вид (рис.61).

Пример 5.3. Найти.

.

Пример 5.4. Исследовать на сходимость интеграл.

.

Данный интеграл расходится, так как предел от sinx при х+ не существует.

Пример 5.5. Исследовать на сходимость интеграл , где .

Если , то

расходится.

Если , то расходится

Если , то

сходится.

Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при.

Данный интеграл часто используется в других разделах высшей математики.

5.7. Теоремы о сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования

В практических задачах часто достаточно определить только сходимость интеграла, а не его величину.

Теорема 5.2. Если непрерывные функции и на промежутке удовлетворяют соотношению , то если сходится, то и сходится; если же расходится, то расходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По свойству 5 определенных интегралов, если , то . Если сходится, т. е. существует конечный предел , то интеграл ограничен. Ввиду того, что при возрастании b увеличивается интервал интегрирования и подынтегральная функция , то монотонно возрастает и, следовательно, имеет предел .

Теперь обоснуем, что если расходится, то расходится. От противного. Предположим, что интеграл сходится. Тогда по первому утверждению теоремы должен сходиться и интеграл. В этом и состоит противоречие.

Пример 5.6. Исследовать сходимость интеграла .

Для использования теоремы 5.2 основная трудность состоит в том, чтобы решить, какую функцию надо подбирать или , т. е. что мы хотим доказать, сходится интеграл или расходится. В данном примере, очевидно, . сходится, так как степень (см. пример 5.5). Следовательно, исходный интеграл сходится.

Пример 5.7. Исследовать сходимость интеграла .

Подбираем функцию , .

Интеграл расходится, так как (см. пример 5.5). Следовательно, исходный интеграл расходится.

Теорема 5.3. Если функция непрерывна на промежутке и сходится, то также сходится .

Если сходятся одновременно интегралы и , то интеграл называется абсолютно сходящимся.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого значения х из промежутка справедливо неравенство . На основании свойства 5 для определенных интегралов . Так как по условию теоремы интеграл от функции сходится, то также сходится (по теореме 5.2) . Следовательно, сходится разность интегралов .

Пример 5.8. Исследовать сходимость интеграла .

Для любых значений х, принадлежащих промежутку , справедливы неравенства и . сходится, так как степень (см. пример 5.5). На основании теоремы 5.2 интеграл сходится. На основании теоремы 5.3 интеграл сходится абсолютно.

Теорема 5.4. Если на промежутке для непрерывных неотрицательных функции и (), существует конечный предел отношения функций , неравный нулю, то оба интеграла от этих функций и либо сходятся, либо расходятся одновременно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , , . По определению предела .

Здесь  сколь угодно малое положительное число.

Справедливы соотношения

.

Так как , , а  сколь угодно малое число, то и справедливо

.

Используем это неравенство и теорему 5.2. Если интеграл сходится, то интеграл также сходится. И наоборот, если интеграл расходится, то и интеграл расходится.

Пример 5.9. Исследовать на сходимость интеграл .

Подынтегральную функцию сравним с функцией . Находим предел отношения функций

.

Предел является конечной величиной, поэтому интегралы от этих функций сходятся или расходятся одновременно. Интеграл сходится, так как степень х в подынтегральной функции (см. пример 5.5). Следовательно, исходный интеграл также сходится.

Пример 5.10. Исследовать на сходимость интеграл .

Найдем предел отношения функций и .

.

Предел является конечной величиной, поэтому интегралы от этих функций сходятся или расходятся одновременно.

Интеграл расходится.

Следовательно, исходный интеграл также расходится.