5.11.1. Формулы прямоугольников

Наиболее простые формулы для приближенного вычисления интегралов получаются при замене подынтегральной функции прямой. Эти формулы называются формулами прямоугольников и трапеций.

Рис. 72

Заменяя значение функции на элементарных отрезках постоянными значениями (рис. 72), можно получить две формулы в зависимости от того, равняются ли на i-м отрезке эти постоянные или . В зависимости от этого площадь i-й элементарной трапеции (прямоугольника) равна либо , либо . Суммируем площади получающихся прямоугольников, получаем две формулы:

1. или ;

2. или .

5.11.2. Формула трапеций

Рис. 73

Заменим на каждом элементарном отрезке кривую прямой, соединяющей граничные точки кривой и (рис. 73). Площадь элементарной трапеции на этом отрезке равняется . Приближенное значение определенного интеграла найдем как сумму площадей элементарных трапеций

или

Вычисляемое по формуле трапеций значение интеграла равно среднему арифметическому значений этого интеграла, вычисленных по 1-ой и 2-ой формулам прямоугольников.

5.11.3. Формула Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов

Для получения формулы Симпсона интервал интегрирования разбивается на четное число 2n элементарных отрезков. На каждой паре отрезков подынтегральная функция заменяется параболой.

Теорема 5. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой на интервале длиной 2h (рис. 74) находится по формуле

, где .

Рис. 74

Запишем уравнение параболы, проходящей через точки . Для этого используем формулу интерполяционного многочлена Лагранжа, которая в общем случае имеет вид .

Уравнение параболы в рассматриваемом случае имеет вид

или

.

Найдем площадь трапеции на отрезке как интеграл .

.

Просуммируем площади трапеций на элементарных отрезках. Найдем приближенное значение интеграла

,

где , приведем подобные и получим формулу Симпсона в окончательном виде

.

Для вычисления определенного интеграла с заданной точностью выбирают произвольно (на основе опыта или интуитивно) число n или 2n элементарных отрезков и по одной из формул для приближенного вычисления производят расчет интеграла. Получают некоторое значение интеграла . Затем увеличивают число элементарных отрезков в 2 раза и снова производят расчет. Получают новое значение интеграла . Сравнивают полученные результаты. Если , где  - требуемая точность вычисления интеграла, то расчет заканчивают. Значение принимают за окончательное. Иначе число элементарных отрезков увеличивают еще в 2 раза и снова производят расчет.

Пример 5.16. Вычислить .

Примем . Длина элементарных отрезков .

Вычислим значение подынтегральной функции в граничных точках элементарных отрезков

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
	0	0,01	0,04	0,09	0,16	0,25	0,36	0,49	0,64	0,81	1,0

По первой формуле прямоугольников получаем

По второй формуле прямоугольников получаем

По формуле трапеций можно получить .

По формуле Симпсона получим (, )

Точное значение интеграла .

Значение интеграла, найденное по формуле Симпсона, совпадает с точным значением интеграла, так как подынтегральная функция является параболой , что так же предполагалось при выводе формулы Симпсона.