5.12. Производная интеграла, зависящего от параметра

Пусть в определенном интеграле пределы интегрирования и подынтегральная функция зависят от некоторого параметра , т.е. интеграл имеет вид

.

Требуется найти производную интеграла по этому параметру . Будем считать, что функции , - дифференцируемые функции по .

Рассмотрим отдельно три случая, когда в интеграле зависят от параметра либо подынтегральная функция, либо какой-то из пределов интегрирования.

1. Пусть .

Найдем

Используем теорему Лагранжа о конечном приращении функции, запишем

, где .

Тогда . Следовательно,

.

Пример 5.17. Найти , если .

.

2. Пусть от параметра зависит верхний предел интегрирования, т. е.

. Найдем

.

По теореме о среднем

, где .

Тогда . Следовательно,

.

Если верхний предел интегрирования сложная функция , то производная интеграла найдется как производная сложной функции, т. е.

.

В практических задачах нередко требуется найти производную по x от интеграла . В этом интеграле x под интегралом – это переменная интегрирования, а верхний предел x является фактически параметром. Поэтому

.

3. Если от параметра зависит только нижний предел интегрирования, то переставим верхний и нижний предел интегрирования и получим

.

Используем формулы дифференцирования сложной функции нескольких переменных, получим производную интеграла, зависящего от параметра в общем случае или

.

Данная формула называется формулой Лейбница.

Пример 5.18. Найти , если .

Находим

.

Пример 5.19. Найти рекуррентное соотношение для вычисления интеграла , зависящего от параметра.

Данный интеграл называется гамма-функцией. Он часто используется в математической статистике и других прикладных разделах высшей математики.

Найдем .

При применим интегрирование по частям. Получим

,

так как .

Таким образом

.

Получим формулу для нахождения при n целом. Так .как. , то , , и т. д.

Глава 6. Двойные интегралы

6.1. Определение двойного интеграла

Двойные интегралы являются обобщением понятием определенного интеграла на случай функции двух переменных.

Рис. 75

Пусть некоторая функция двух переменных непрерывная и ограниченная в некоторой области D плоскости Оxy. Пусть область D ограничена конечным числом непрерывных линий, уравнения которых имеют вид или . С помощью таких же произвольно выбранных непрерывных линий разобьем область D на n элементарных областей , , площади которых равны , (рис. 75).

Назовем диаметром элементарной области наибольшее расстояние между точками этой области. В каждой элементарной области выберем произвольно точку и вычислим значение функции .

Составим сумму , которая называется интегральной.

Двойным интегралом от функции по области D называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа n элементарных областей и стремление к нулю наибольшего их диаметра , т. е.

.