7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

или .

Используя уравнение , можно найти производную искомой функции в любой точке области определения функции на плоскости . Эта производная определяет тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой. Поэтому можно в каждой точке плоскости построить поле направлений и изобразить приближенно семейство интегральных кривых. Для этого используют изоклины.

Изоклиной называется линия, на которой производная решения дифференциального уравнения принимает постоянное значение.

Уравнение изоклин для уравнения имеет вид , где .

Пример 7.5. Для дифференциального уравнения построить поле направлений, несколько изоклин и приближенный вид интегральных кривых.

Рис. 81

Уравнение изоклин имеет вид , т. е. . На рисунке (рис. 81) изображены изоклины при , , , , , . Например, уравнение изоклины при является прямой , проходящей по биссектрисе 1-го координатного угла. Тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой на этой изоклине равен

(), т. е. касательные образуют с осью угол 135. На рисунке это направление отмечено черточками.

При уравнение изоклины . Тангенс угла наклона касательных к интегральной кривой на этой изоклине равен . Уравнения изоклин: при , при , при , при . Чтобы изобразить приближенно вид интегральной кривой, необходимо выбрать произвольно начальную точку и от нее провести линию (кривую). Эта линия должна касаться направлений (черточек) на изоклинах.

7.3. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка

Задача Коши для дифференциального уравнения заключается в нахождении решения , удовлетворяющего заданным начальным условиям . Иначе говоря, требуется найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку .

Теорема 7.1 (без доказательства). Если для дифференциального уравнения функция и ее частная производная являются непрерывными в некоторой области D, то для любой точки этой области существует единственное решение , удовлетворяющее условию .

Пример 7.6. Для дифференциального уравнения найти частное решение, проходящее через точку . Общим решением этого уравнения (см. пример 7.1) является функция . Подставляем значения в общее решение, получим . Подставляем в общее решение, записываем частное решение .

7.4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Данные уравнения являются наиболее простыми из дифференциальных уравнений. Однако решение многих типов дифференциальных уравнений сводится к решению дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

В общем случае данные уравнения можно записать в виде

или

,

где  непрерывные функции.

Для нахождения общего решения уравнения переменные x и y в уравнении с помощью алгебраических действий разделяют так, чтобы в каждом слагаемом уравнения содержалась только одна переменная и ее дифференциал, либо x и dx, либо y и dy. Дифференциалы dx и dy. должны быть всегда в числителях дробей.

Разделяем переменные. Уравнение вида

делим на , получаем 

.

После того, как переменные разделены, решение уравнения сводится к интегрированию. Записываем

.

Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к нахождению интегралов.

Если уравнение имеет вид , то переменные разделяем следующим образом

.

Если решение дифференциального уравнения сведено к нахождению интегралов, то считается, что оно в принципе решено. Поэтому часто говорят не решить, а проинтегрировать дифференциальное уравнение.

Пример 7.7. Для дифференциального уравнения найти общее решение и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: при . Построить несколько интегральных кривых.

Рис. 82

Находим  . Общий интеграл уравнения можно записать в виде , где . Интегральными кривыми являются окружности радиуса С (рис. 82)

Найдем частное решение. Подставим значения и в общий интеграл, получим . Частный интеграл .

Пример 7.8. Найти частное решение дифференциального уравнения , если при х = 0 .

Разделим переменные и проинтегрируем



 

, где .

Тогда .

Произвольная постоянная в решениях дифференциальных уравнений может принимать любые значения . Данный интервал также является множеством значений логарифма . Поэтому при записи общего решения для более удобного вида часто произвольную постоянную представляют в виде логарифма, а затем освобождаются от логарифмов (потенцируют).

Отметим также следующее. В тех случаях, когда при интегрировании дифференциальных уравнений появляются логарифмы, обычно модули под логарифмами не ставят в расчете на то, что при нахождении частных решений выражения под логарифмами будут положительными за счет выбора начальных условий.

Найдем значение произвольной постоянной при . Получаем , отсюда С = 3. Частное решение .

Пример 7.9. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях х = 1 .

Разделим переменные и проинтегрируем

.

Находим .

Получаем , .

Общее решение .

Подставим начальные условия в общее решение, найдем значение произвольной постоянной .

Частное решение .