- •Глава 7. Дифференциальные уравнения
- •7.1. Общие понятия
- •7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.3. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка
- •7.4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •7. 5. Однородные дифференциальные уравнения (дифференциальные уравнения с однородными функциями)
- •7.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.7. Уравнение Бернулли
- •7.8. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах
- •7.9. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •7. 10. Дифференциальное уравнение вида
- •7.11. Дифференциальные уравнения второго порядка, приводимые к дифференциальным уравнениям первого порядка
- •7.12. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Свойства их решений
- •7.13. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского
- •7.14. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка
- •7.15. Комплексные числа и действия над ними
- •Действия над комплексными числами
- •7.16. Показательная функция с комплексным показателем
- •7.17. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
- •7.18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
- •7.19. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами
- •7.20. Метод Эйлера численного интегрирования дифференциальных уравнений
7.7. Уравнение Бернулли
В общем случае уравнение Бернулли имеет вид
, ,
здесь непрерывные функции.
Поделим уравнение на , получим
.
Данное уравнение приводится к линейному уравнению с помощью подстановки
или .
Найдем и подставим в исходное уравнение, получим линейное уравнение относительно переменной z.
.
Далее уравнение может быть разрешено известными методами решения линейного уравнения. Однако уравнение Бернулли может быть решено без замены переменной непосредственно с помощью подстановки .
Пример 7.14. Решить уравнение .
Используем подстановку .
Решаем первое уравнение системы
.
Решаем второе уравнение системы
.
Записываем решение исходного уравнения или
.
7.8. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах
Данные уравнения в общем случае имеют вид
,
где левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции .
Известно, что полный дифференциал функции равен
.
Если левая часть заданного уравнения равна , то уравнение можно записать в виде . Тогда общий интеграл (общее решение в неявном виде) данного уравнения будет определяться уравнением , где С – произвольная постоянная.
Необходимым и достаточным условием того, чтобы выражение
являлось полным дифференциалом, служит равенство
.
Если это условие выполняется, то
.
Отсюда следует
.
Интегрируем соотношение по x, находим
,
где произвольная функция, зависящая от y.
Функцию С(y) необходимо выбрать так, чтобы выполнялось второе условие существования полного дифференциала
.
Дифференцируем по y, имеем .
Отсюда получаем дифференциальное уравнение для нахождения функции С(y)
.
Интегрируем данное уравнение, находим С(y) и подставляем его в ранее полученное выражение .
Получим общий интеграл
или .
Если имеются начальные условия для нахождения частного решения , то необходимо найти и записать частный интеграл .
Пример 7.15. Для уравнения найти общий интеграл и частный интеграл, удовлетворяющий условиям .
Проверим условие существования полного дифференциала. Находим
.
Условие выполняется 1 = 1.
Находим
.
Находим частную производную от этой функции
.
Приравниваем к , получаем уравнение для нахождения .
,
где .
Записываем .
Общий интеграл исходного уравнения имеет вид
, где ,
или
, где .
Находим значение произвольной постоянной С, соответствующее начальным условиям ,
.
Частный интеграл
.
Таким образом, общий и частный интегралы имеют вид
, .
7.9. Дифференциальные уравнения высших порядков
В общем случае дифференциальное уравнение n-ого порядка имеет вид
или .
Теорема 7.2 о существовании и единственности решения.
Если в дифференциальном уравнении функция и ее частные производные
являются непрерывными в некоторой области D, то для любой точки , принадлежащей этой области, существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
.
Если условия данной теоремы выполняются, то геометрически решение дифференциального уравнения n-ого порядка представляет кривую, проходящую через точку в направлении .