- •Глава 7. Дифференциальные уравнения
- •7.1. Общие понятия
- •7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.3. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка
- •7.4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •7. 5. Однородные дифференциальные уравнения (дифференциальные уравнения с однородными функциями)
- •7.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.7. Уравнение Бернулли
- •7.8. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах
- •7.9. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •7. 10. Дифференциальное уравнение вида
- •7.11. Дифференциальные уравнения второго порядка, приводимые к дифференциальным уравнениям первого порядка
- •7.12. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Свойства их решений
- •7.13. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского
- •7.14. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка
- •7.15. Комплексные числа и действия над ними
- •Действия над комплексными числами
- •7.16. Показательная функция с комплексным показателем
- •7.17. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
- •7.18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
- •7.19. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами
- •7.20. Метод Эйлера численного интегрирования дифференциальных уравнений
7. 5. Однородные дифференциальные уравнения (дифференциальные уравнения с однородными функциями)
Функция называется однородной n-го измерения, если , где t – параметр.
Например, для функции находим
.
Следовательно, эта функция второго измерения (n = 2).
Покажем, что частное двух однородных функций и одного и тоже измерения есть однородная функция нулевого измерения. Действительно,
.
Однородными дифференциальными уравнениями называются уравнения вида
,
где и однородные функции одного измерения.
Данное уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого преобразуем уравнение
.
Обозначим . Тогда уравнение примет имеет вид
,
где однородная функция нулевого измерения, т. е.
.
Если принять параметр , то .
Уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки
или ,
где u = u (x) функция от x.
Найдем производную и подставим ее в уравнение, получим
.
Разделим переменные и проинтегрируем
.
Решение уравнения сведено к нахождению интегралов. В результате интегрирования будет получен общий интеграл . Для нахождения общего интеграла исходного дифференциального уравнения необходимо сделать обратную замену переменной , в результате которой общий интеграл будет иметь вид
.
Пример 7.10. Решить уравнение ; при х = 1 y = 1.
Используем подстановку . Находим и подставляем в уравнение. Получаем
.
Сгруппируем отдельно слагаемые с и
.
Разделим переменные и проинтегрируем
.
Выполним обратную подстановку , запишем общий интеграл
.
Найдем значение произвольной постоянной С, соответствующее начальным условиям .
.
Запишем частное решение
.
Пример 7.11. Решить уравнение ; при х = 1 .
Используем подстановку . Найдем . Подставим y и в уравнение, получим
.
В этом уравнении сгруппируем в одном слагаемом , а в другом все остальные слагаемые, получим
.
Учитываем, что , имеем
.
Разделим переменные и проинтегрируем
.
Получаем
.
Выполняем обратную замену переменной , получаем общий интеграл
.
Находим значение произвольной постоянной.
При получим .
Записываем частное решение
.
7.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Данные уравнения в общем случае имеют вид
,
где непрерывные функции.
Разделим уравнение на , получим
,
где .
Известны два метода решения этих уравнений.
1. Метод замены переменной.
Искомую функцию заменяют на произведение двух функций
,
где , некоторые неизвестные дифференцируемые функции.
Подставим в уравнение, получим . Третье слагаемое сгруппируем с одним из первых слагаемых, либо с , либо с . Функции и входят в уравнение замены симметрично. Пусть объединим первое и третье слагаемые
.
Искомой является одна функция , а введены с помощью замены две , , поэтому одну из них, пусть , выберем по своему усмотрению так, чтобы равнялось нулю. Тогда уравнение распадется на два уравнения, каждое из которых с разделяющимися переменными,
Необходимо сначала решить первое уравнение, найти функцию . Затем подставить эту функцию во второе уравнение и решить его.
Решаем первое уравнение. При решении этого уравнения достаточно найти не общее решение, а одно какое-либо частное решение
.
Подставим найденную функцию во второе уравнение и решим его. Найдем функцию .
.
Затем записываем решение исходного уравнения как произведение функций .
.
Получена конечная формула для нахождения общего решения линейного уравнения. Однако, при решении примеров, обычно, используют замену и повторяют приведенные выше действия.
Пример 7.12. Решить уравнение .
Используем подстановку , получаем
Решаем первое уравнение системы
.
Решаем второе уравнение системы .
.
Интеграл находим методом интегрирования по частям
.
Находим общее решение исходного уравнения ;
.
2. Метод вариации произвольной постоянной.
Для нахождения общего решения неоднородного линейного уравнения
сначала решают соответствующее однородное уравнение
.
Данное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим
.
Далее, произвольную постоянную заменяют на функцию и ищут решение исходного неоднородного уравнения в виде
.
Теперь, чтобы получить решение уравнения, необходимо найти функцию . Найдем производную функции .
.
Подставим функцию и ее производную в исходное неоднородное уравнение .
.
Второе и третье слагаемые в левой части этого уравнения уничтожаются, получается дифференциальное уравнение относительно функции с разделяющимися переменными
.
Разделяем переменные и интегрируем
,
где С – произвольная постоянная.
Записываем решение исходного неоднородного уравнения
.
Пример 7.13 . Найти общее решение уравнения .
Используем метод вариации произвольной постоянной. Решим соответствующее исходному однородное уравнение
.
Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде . Подставляем эту функцию в исходное уравнение
.
Получаем уравнение для нахождения
.
Решаем это уравнение
.
Находим
.
Записываем решение исходного уравнения
или
.