- •Глава 7. Дифференциальные уравнения
- •7.1. Общие понятия
- •7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.3. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка
- •7.4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •7. 5. Однородные дифференциальные уравнения (дифференциальные уравнения с однородными функциями)
- •7.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.7. Уравнение Бернулли
- •7.8. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах
- •7.9. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •7. 10. Дифференциальное уравнение вида
- •7.11. Дифференциальные уравнения второго порядка, приводимые к дифференциальным уравнениям первого порядка
- •7.12. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Свойства их решений
- •7.13. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского
- •7.14. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка
- •7.15. Комплексные числа и действия над ними
- •Действия над комплексными числами
- •7.16. Показательная функция с комплексным показателем
- •7.17. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
- •7.18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
- •7.19. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами
- •7.20. Метод Эйлера численного интегрирования дифференциальных уравнений
7.13. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского
Функции называются линейно независимыми в области G, если линейная комбинация этих функций равна нулю
при любом значении только при нулевом наборе чисел
.
В противном случае эти функции называются линейно зависимыми.
Для определения линейной зависимости функций используется определитель Вронского, который имеет вид
.
Теорема 7.3. Решения линейного однородного дифференциального уравнения являются линейно зависимыми в некоторой области G, если для любого значения x из этой области () определитель Вронского тождественно равен нулю , и, наоборот, решения уравнения линейно независимые, если .
Например, покажем, что функции и являющиеся решениями дифференциального уравнения , являются линейно независимые. Найдем для этих функций определитель Вронского
.
Определитель отличен от нуля. Следовательно, функции линейно независимые.
7.14. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка
Линейному неоднородному дифференциальному уравнению n-ого порядка
соответствует однородное дифференциальное уравнение
.
Пусть линейно независимые функции являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения .
Покажем, что , где произвольно заданные постоянные, является общим решением этого уравнения. Для этого необходимо убедиться в том, что при любых начальных условиях можно выбрать произвольные постоянные так, чтобы функция была частным решением дифференциального уравнения с этими начальными условиями.
Пусть начальные условия имеют вид
.
Составим систему уравнений для нахождения произвольных постоянных .
Эта система является системой линейных алгебраических уравнений.
Определитель данной системы представляет собой определитель Вронского
.
Этот определитель отличен от нуля, так как функции линейно независимые. Решение системы (набор значений произвольных постоянных ) можно получить с помощью формул Крамера. Система имеет единственное решение.
Следовательно, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка можно найти как линейную комбинацию n линейно независимых его частных решений.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 7.4. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка равняется сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения этого неоднородного уравнения, т. е.
,
где линейно независимые решения однородного уравнения ,
частное решение неоднородного уравнения .
7.15. Комплексные числа и действия над ними
Для нахождения решения часто встречающихся в практических исследованиях дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами необходимо рассмотреть комплексные числа и действия над ними.
Комплексным числом называется выражение вида
,
где реальная часть z (действительное число),
мнимая часть z,
мнимая единица.
Два комплексных числа и равны, если , .
Комплексное число равно нулю, если .
Два числа и называются комплексно-сопряженными.
Рис. 83 |
Любое комплексное число можно изобразить на так называемой комплексной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат в виде точки или вектора (рис. 83). Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается . Очевидно . Обозначим через угол, образуемый вектором с осью Оx. |
Тогда можно записать
или
Угол называется аргументом комплексного числа. Аргумент определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого . Сопряженные комплексные числа и имеют равные модули , а . Любое комплексное число можно записать в тригонометрическом виде , т. е.
.
Данный вид записи позволяет облегчить действия над комплексными числами.