- •Глава 8. Числовые ряды
- •8.1. Основные понятия
- •8.1. 1. Определение числового ряда
- •8.1.2. Сходимость числового ряда. Сумма ряда
- •8.1.3. Свойства сходящихся рядов
- •8.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •8.4.2. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов
- •8.4.3. Радикальный признак Коши сходимости числового ряда
- •8.4.4. Интегральный признак Коши
- •8.5. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •8.6. Знакопеременные ряды. Теорема об абсолютной сходимости числового ряда
- •Глава 9. Степенные ряды
- •9.1. Функциональные ряды. Общие понятия
- •9.2. Равномерная сходимость функциональных рядов. Теорема Вейерштрасса
- •9.3. Теорема Абеля о виде области сходимости степенного ряда
- •9.4. Радиус и область сходимости степенного ряда
- •9.5. Ряды Тейлора и Маклорена
- •9.6. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций
- •9.7. Применение рядов для приближенных вычислений
- •Вопросы к экзамену Неопределённый интеграл
- •Определённый интеграл
- •77. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Формула Лейбница. Гамма-функция. Дифференциальные уравнения
- •Шершнев Владимир Григорьевич математический анализ
- •Часть 2. Интегральное исчисление
- •117997, Москва, Стремянный пер. 36.
9.3. Теорема Абеля о виде области сходимости степенного ряда
В общем случае степенной ряд имеет вид
,
где постоянные величины, х – переменная величина.
В частном случае при ряд имеет вид
.
При конкретных значениях х ряд является числовым и можно исследовать его сходимость и находить область его сходимости.
Теорема 9.2. (Теорема Абеля). 1. Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он сходится также при любых значениях х, для которых . 2. Если степенной ряд расходится при , то он также расходится при любых значениях х, для которых .
Д ок а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть степенной ряд сходится при , т. е. ряд является сходящимся. Тогда его члены ограничены при любых значениях степени n, т. е. , где .
Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда
.
Покажем, что этот ряд сходится, если . Преобразуем все его члены следующим образом: , а также учтем, что при все его члены ограничены величиной М. Тогда можно записать неравенство
.
При ряд представляет бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем , которая сходится. Следовательно, сходится ряд .
Ввиду того, что члены ряда меньше соответствующих членов сходящегося ряда , по теореме 8.2 этот ряд сходится.
В соответствии с теоремой 8.8 об абсолютной сходимости ряда сходится также исходный ряд , причем абсолютно.
2. Пусть теперь ряд расходится при , т. е. расходится ряд . Докажем от противного, что при ряд расходится. Предположим, что при исходный ряд сходится. Тогда по доказанному в первой части настоящей теоремы он должен сходится также и при меньших по модулю значениях х, т. е. при . В этом и состоит противоречие.
Теорема Абеля является теоремой о виде области сходимости степенного ряда, так как если ряд сходится при , то он сходится и при , т. е. при . Следовательно, область сходимости симметрична относительно начала координат (рис. 85).
Рис. 85
9.4. Радиус и область сходимости степенного ряда
Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, при котором ряд сходится, если , и расходится, если .
Для нахождения радиуса сходимости R составим ряд из абсолютных величин членов ряда и применим признак Даламбера. Найдем
.
В соответствии с признаком Даламбера ряд сходится, если этот предел меньше единицы, т. е.
,
и расходится, если .
Отсюда следует, что радиус сходимости равен
.
При использовании данной формулы необходимо не забывать, что в этой формуле и коэффициенты в членах степенного ряда при х в степени n и n+1, а не члены ряда.
С помощью радиуса сходимости можно найти интервал сходимости ряда. При степенной ряд сходится. Для того чтобы найти область сходимости, необходимо дополнительно исследовать сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости .
Пример 9.1. Найти область сходимости ряда .
Находим радиус сходимости
.
Интервал сходимости ряда .
Исследуем сходимость ряда в граничных точках.
При ряд имеет вид является знакочередующимся, его члены монотонно убывают и стремятся к нулю. По теореме Лейбница он сходится (см. пример 8.15).
При ряд является гармоническим. Как известно он расходится.
Следовательно, область сходимости ряда .
Пример 9.2. Найти область сходимости ряда .
Находим радиус сходимости
.
Интервал сходимости .
Исследуем сходимость ряда в граничных точках.
При ряд имеет вид является знакочередующимся.
Члены ряда монотонно убывают
и стремятся к нулю . По теореме Лейбница ряд сходится.
При ряд имеет вид . Его сходимость исследуем по интегральному признаку Коши. Находим
.
Интеграл сходится и ряд сходится.
Следовательно, область сходимости ряда .
Пример 9.3. Найти область сходимости ряда .
Введем новую переменную , ряд примет вид .
Найдем радиус сходимости этого ряда.
.
Интервал сходимости ряда .
Исследуем сходимость ряда в граничных точках.
При ряд имеет вид является знакочередующимся.
Члены ряда монотонно убывают
и стремятся к нулю . По теореме Лейбница ряд сходится.
При ряд имеет вид . Ряд расходится, так как степень n в знаменателе (см. пример 8.12).
Область сходимости ряда . Переходим к исходной переменной:
Область сходимости исходного ряда .
В отдельных случаях степенные ряды могут содержать только четные степени переменной или нечетные степени. Для нахождения радиуса сходимости ряда в таком случае составляется ряд из абсолютных величин этого ряда, а затем применяется признак Даламбера.
Для ряда с четными степенями составляем ряд и применяем признак Даламбера .
Ряд сходится, если , т. е. и расходится, если . Следовательно, можно определить квадрат радиуса сходимости такого ряда по формуле
.
Для ряда с нечетными степенями составляем ряд , применяем признак Даламбера .
Ряд сходится, если и расходится, если
. Следовательно, в случае ряда с нечетными степенями справедлива та же формула для квадрата радиуса сходимости.
Пример 9.4. Найти область сходимости ряда .
Находим .
Радиус сходимости . Интервал сходимости ряда .
При ряд расходится (гармонический).
При ряд расходится.
Область сходимости ряда .