9.5. Ряды Тейлора и Маклорена
Функция
разлагается в степенной ряд
в области G,
если он составлен для этой функции и
сходится к ней.
Пусть степенной ряд
Равномерно сходится
к функции
,
т. е.
Тогда его можно почленно дифференцировать.
Найдем производные этого ряда.
;
;
;
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
Подставим значение
в эти соотношения
,получим
формулы для нахождения коэффициентов
Следовательно,
Данный ряд называется рядом Тейлора.
При
данный ряд имеет вид
и называется рядом Маклорена.
Разложения функций по данным формулам справедливы только в области сходимости этих рядов.
Ранее были получены формулы Тейлора и Маклорена (Математический анализ. Часть 1. Дифференциальное исчисление).
В формуле Тейлора
остаточный член
можно рассматривать как остаточный
член ряда Тейлора. В форме Лагранжа он
имеет вид
,
где
или
.
Также для ряда Маклорена
остаточный член в форме Лагранжа имеет вид
.
Теорема 9.2.
Для того чтобы степенной ряд
сходился к функции
,
для которой он составлен, необходимо и
достаточно, чтобы остаточный член ряда
стремился к нулю при неограниченном
увеличении его номера n,
т. е.
.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Необходимость.
Пусть ряд
сходится к функции
,
т. е.
.
Так как
,
то
.
Достаточность.
Пусть
.
Тогда
,
т. е. ряд сходится.
9.6. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций
Принимая во внимание
полученные ранее формулы Маклорена для
функций
можем записать ряды для этих функций и
найти их области сходимости.
-
Функция
.
Ряд Маклорена имеет вид
.
Найдем радиус сходимости ряда
.
Область сходимости
ряда
.
2. Функция
.
Ряд Маклорена имеет вид
,
где
остаточный член, записанный в данном
случае в форме Пеано. Запись
означает, что функция
является бесконечно малой по сравнению
с функцией
.
Найдем радиус сходимости этого ряда
.
Область сходимости
ряда
.
3. Функция
.
Ряд Маклорена имеет вид
,
где
остаточный член. Здесь нумерация членов
ряда начинается с n
= 0.
Радиус сходимости
.
Область сходимости
ряда
.
Пример 9.5. Разложить
в ряд по степеням х
функцию
.
Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов, запишем
.
Пример 9.6. Будем
считать справедливым разложение функции
в ряд Маклорена при мнимом показателе
,
т. е.
.
Здесь
мнимая единица. Так как
и т. д., то
.
Сгруппируем действительные и мнимые члены этого ряда, получим
.
Отсюда получаем известную формулу Эйлера
.
4. Получим разложение
по степеням х
для функции
.
Данная функция
удовлетворяет уравнению
,
т. е.
или
.
Будем искать
разложение функции
по степеням х
в виде
.
Продифференцируем почленно этот ряд
и подставим
и
в уравнение
,
получим
.
Приравняем
коэффициенты при одинаковых степенях
х
в левой и правой частях этого уравнения;
при этом учтем, что при
,
т. е.
.
При
:
;
При
:
.
При
:
.
Далее, приравнивая
коэффициенты при
,
можно получить
.
Тогда при
:
.
Таким образом,
получаем разложение функции
.
.
Найдем радиус сходимости этого ряда
.
Интервал сходимости
ряда
.
На основании теоремы Вейерштрасса о равномерной сходимости любой степенной ряд в интервале сходимости является равномерно сходящимся. Поэтому ряд составленный из интегралов членов такого ряда сходится к интегралу от суммы этого ряда. Используем это свойство для получения разложений в степенной ряд функций:
и
.
5. Для функции
можно записать
.
При
выражение
можно представить как сумму убывающей
геометрической прогрессии
.
Так как при
этот ряд (прогрессия) сходится равномерно,
то его можно почленно интегрировать.
Находим
.
Следовательно,
.
Найдем радиус сходимости этого ряда.
.
Интервал сходимости
ряда
.
6. Для функции
справедливо равенство
.
При
функцию
можно представить как сумму убывающей
геометрической прогрессии
,
которая сходится равномерно.
Интегрируя почленно, получим
.
Следовательно,
.
Радиус сходимости ряда
.
Интервал сходимости
ряда
.
7. Для функции
справедливо равенство
.
Запишем разложение биномиального ряда
.
Данный ряд сходится
равномерно при
.
Интегрируем ряд почленно, получим
Следовательно,
.
Интервал сходимости
ряда
.