- •Глава 8. Числовые ряды
- •8.1. Основные понятия
- •8.1. 1. Определение числового ряда
- •8.1.2. Сходимость числового ряда. Сумма ряда
- •8.1.3. Свойства сходящихся рядов
- •8.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •8.4.2. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов
- •8.4.3. Радикальный признак Коши сходимости числового ряда
- •8.4.4. Интегральный признак Коши
- •8.5. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •8.6. Знакопеременные ряды. Теорема об абсолютной сходимости числового ряда
- •Глава 9. Степенные ряды
- •9.1. Функциональные ряды. Общие понятия
- •9.2. Равномерная сходимость функциональных рядов. Теорема Вейерштрасса
- •9.3. Теорема Абеля о виде области сходимости степенного ряда
- •9.4. Радиус и область сходимости степенного ряда
- •9.5. Ряды Тейлора и Маклорена
- •9.6. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций
- •9.7. Применение рядов для приближенных вычислений
- •Вопросы к экзамену Неопределённый интеграл
- •Определённый интеграл
- •77. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Формула Лейбница. Гамма-функция. Дифференциальные уравнения
- •Шершнев Владимир Григорьевич математический анализ
- •Часть 2. Интегральное исчисление
- •117997, Москва, Стремянный пер. 36.
9.7. Применение рядов для приближенных вычислений
Применение рядов позволяет с заданной точностью вычислять значение функций, определенных интегралов, находить частные решения дифференциальных уравнений и т. п. Основной трудностью при этом является оценка точности вычислений. Данную трудность преодолевают с помощью оценки остаточного члена ряда.
Если остаточный член ряда представлен с помощью функции , то необходимо найти количество членов ряда, учитываемых при расчете, при котором остаточный член не превзойдет требуемой точности вычисления , т. е. .
Если остаточный член представлен в виде знакочередующегося ряда , то оценка погрешности вычисления является наиболее простой. В этом случае применяют терему Лейбница, согласно которой сумма ряда (остатка ряда) по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена ряда.
Если же остаточный член представляет знакопостоянный ряд , то для его оценки необходимо составить так называемый можарирующий ряд. Данный ряд обычно является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, сумма которой легко находится.
Пример 9.6. Вычислить значение числа е с точностью .
Используем разложение показательной функции в ряд Маклорена
, где , .
Область сходимости .
При имеем .
Число n членов ряда, которые необходимо учесть, чтобы остаток ряда не превосходил заданной точности расчета , найдем из неравенства
.
Будем считать известным, что . Тогда условие для нахождения числа n примет вид . В ниже следующей таблице приведены оценки остаточного члена ряда при различных значениях
Число n, учитываемых членов ряда |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Оценка остаточного члена ряда |
|
|
|
|
|
< |
Как видно из таблицы, при остаточный член ряда . Следовательно, для того, чтобы вычислить число е с погрешности не превосходящей , нужно учесть шесть членов в разложении. При вычислениях учитываем на один десятичный знак больше, чем . В окончательном результате этот последний десятичный знак отбрасываем.
Получаем
.
Окончательно принимаем .
Для сравнения более точное значение .
Пример 9.7. Вычислить значение функции при с точностью .
Используем разложение в ряд Маклорена
.
Область сходимости этого ряда .
При имеем
.
Данный ряд и любой его остаток является знакочередующимся. Любой остаток ряда не превзойдет по абсолютной величине первого члена ряда. Это значит, что для вычисления значения с точностью можно отбросить все члены, начиная с , который меньше 0,0001.
Вычисляем
.
Округляем с точностью до , получаем .
Для сравнения, более точное значение .
Пример 9.8. Вычислить значение корня с точностью .
Используем разложение в ряд Маклорена функции
.
Интервал сходимости этого ряда .
Если представить в виде , то вычисление с помощью этого ряда приведет к неверному результату, так как значение находится вне области сходимости ряда.
Если представить искомый корень в виде , так что , то при разложении в ряд получится знакопостоянный (знакоотрицательный) ряд
.
В этом случае оценка погрешности вычислений приведет к некоторым затруднениям (составление так называемого можарирующего ряда). Лучше избежать этого и представить в виде . Тогда и получится знакочередующийся ряд. Оценка погрешности в этом случае достаточно простая, с помощью теоремы Лейбница.
Вычисляем
.
Седьмой член в разложении, равный примерно , меньше . Его и все последующие члены можно отбросить; при этом погрешность вычисления не превзойдет заданной точности. Округляем результат до 0,0001, получаем .
Для сравнения более точное значение .
Пример 9.9. Вычислить , где N некоторое положительное число.
Для этого используют разложение функции в ряд Маклорена
.
Интервалом сходимости данного ряда является .
Для того, чтобы вычислить значение при производят следующее преобразование. Находят разложение в ряд Маклорена для функции .
Учитывая, что , найдем разность двух рядов
,
.
Получаем
.
Областью сходимости данного ряда также является интервал .
Чтобы вычислить , приравняем и найдем отсюда х, . При любом значении данное значение х всегда меньше единице и, следовательно, для вычисления значения можно применять полученное разложение. Рассмотрим конкретный пример.
Пример 9.10. Вычислить с заданной точностью .
При находим .
Записываем
.
Чтобы вычислить с заданной точностью, необходимо оценить остаток ряда, который является знакоположительным рядом.
.
Составим можарирующий ряд, члены которого больше соответствующих членов этого остатка ряда.
Вынесем за скобки первый член остатка ряда
.
Очевидно , , поэтому заменим эти дроби единицей (усилим неравенство), имеем
.
Найдем сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, получим
.
Найдем n, при котором .
Имеем .
При .
Таким образом, для достижения требуемой точности нужно принять .
Вычисляем
.
Более точное значение, полученное с помощью калькулятора, .
Пример 9.11. Вычислить интеграл с точностью .
Данный интеграл относится к числу неберущихся и называется интегральным синусом.
Разложим в ряд и проинтегрируем, получим
.
Здесь для оценки погрешности использовали теорему Лейбница.
Пример 9.12. Найти частное решение дифференциального уравнения при .
Ищем решение в виде ряда
.
При отсюда имеем .
Продифференцируем ряд почленно
и подставим и в дифференциальное уравнение
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого равенства, получим:
Далее, очевидно, можно аналогично получить .
Записываем частное решение дифференциального уравнения
.
Решим данное уравнение аналитическим методом. Запишем уравнение в виде . Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение этого уравнения имеет один корень . Общее решение однородного уравнения имеет вид . Частное решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде . Подставляем его в уравнение, получаем
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
. Частное решение . Общее решение исходного уравнения имеет вид . Используем начальные условия для нахождения произвольной постоянной С . Таким образом частное решение имеет тот же вид , что и при использовании разложения решения в степенной ряд Маклорена.