- •3.1. Электрический заряд. Дискретность заряда. Закон сохранения электрического заряда Закон Кулона.
- •3.1.2. Порядок решения задач на закон Кулона
- •3.1.3. Примеры решения задач на закон Кулона
- •3.1.4. Основные формулы и соотношения.
- •3.1.5. Задачи для самостоятельного решения
- •3.2.1 Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля. Принцип суперпозиции. Расчет электрических полей из принципа суперпозиции.
- •3.2.2. Порядок решения задач на принцип суперпозиции
- •3.2.3. Примеры решения задач на расчет электрических полей на основе принципа суперпозиции
- •3.2.4. Основные формулы и соотношения.
- •3.1.5. Задачи для самостоятельного решения
- •3.2. Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету напряженности электрического поля
- •3.3.2.Порядок решения задач на применение теоремы Гаусса к расчету напряженности электрического поля.
- •3.3.3. Примеры решения задач на применение теоремы Гаусса.
- •Выберем поверхность интегрирования, учитывая симметрию задачи.
- •Найдем поток вектора через выбранную поверхность.
- •Вычислим заряд, охватываемый этой поверхностью.
- •Подставим в теорему Гаусса полученные выражения для потока вектора напряженности и суммарного заряда.
- •3.3.4. Задачи для самостоятельного решения
- •3.4.1. Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Потенциал. Разность потенциалов. Связь между напряженностью e и потенциалом электрического поля.
- •Связь между напряженностью e и потенциалом электрического поля.
- •3.3.2. Порядок решения задач
- •3.3.3. Примеры решения задач
- •3.4.4. Основные формулыи соотношения
- •3.4.5. Задачи для самостоятельного решения
- •3.5.1 Электроемкость, конденсаторы, энергия электрического поля.
- •3.4.2. Порядок решения задач
- •3.4.3. Примеры решения задач
- •Пример 3.13
- •3.4.4. Основные формулы и соотношения
- •3.4.4. Задачи для самостоятельного решения
3.3.3. Примеры решения задач
Пример 3.3.1
Шарик массой m = 40 мг, имеющий положительный заряд q =1 нКл, движется из беcконечности со скоростью V1 = 10 см/с. На какое минимальное расстояние r min может приблизиться шарик к положительному точечному заряду q0 = 1,33 нКл?
Дано:
m = 40 мг = 4010-6 кг;
q = 1 нКл = 10-9 Кл;
V1 = 10 см/с = 0,1 м/с;
q = 1,33 нКл = 1,3310-9Кл
______________________
rmin = ?
Анализ: На рисунке показана картина силовых линий поля, создаваемого зарядом q0 и показан выбор и направление оси координат. Заряд q движется в отрицательном направлении оси r, и сила электрического поля совершает при этом отрицательную работу, что приводит к превращению кинетической энергии этого заряда в потенциальную энергию заряда в поле. На заряд действует только электрическая сила поля точечного заряда q0, поэтому в этой задаче можно для решения использовать закон сохранения энергии.
Рассмотрим два положения заряда q.
Точка 1 - заряд q находится на достаточно далеком расстоянии от заряда, и потенциал 1 в этой точке поля можно считать равным нулю и Wр1 = 0. Скорость заряда в этом случае отлична от нуля, и кинетическая энергия равна ;
Точка 2 - потенциал 2 0 и поэтому потенциальная энергия движущегося заряда в этой точке не равна нулю Wр2 = q2, а скорость движущегося заряда обращается в ноль, когда заряд q приблизится к заряду q0 на минимальное расстояние, V = 0 и Wк2 = 0.
Решение: Система двух зарядов замкнутая и консервативная, поэтому можно применить закон сохранения энергии
или
Потенциал поля точечного заряда можно вычислить по формуле для воздуха =1.
Окончательно получим
Подставляем численные значения, получим
Ответ: заряд q приблизится к другому заряду на минимальное расстояние, равное 6 см.
Пример 3.3.2
Два шарика с зарядами q1 = 6,66 нКл и q2 = 13,33 нКл находятся на расстоянии r1 = 40 см друг от друга. Какую работу А надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r2 = 25 см?
Дано:
q 1 = 6,66 нКл;
q 2 = 13,33 нКл;
r1 = 40 см = 0,40 м;
r2 = 25 см = 0,25 м
_______________
А12 - ?
Анализ:
Для того чтобы сблизить одноименно заряженные шарики, необходимо совершить работу против сил электрического поля. Поэтому работа сил электрического поля при этом будет отрицательной, а работа внешней силы, перемещающей заряд, будет положительной.
Будем считать, что первый шарик неподвижен и создает поле, а второй перемещается в поле первого заряда.
Решение: 1 способ. Работа переменной силы находится через интеграл , где - величина перемещаемого заряда, - напряженность поля первого заряда, поскольку перемещение заряда происходит вдоль силовой линии, но в сторону обратную направлению напряженности поля, то угол будет равен .
Величина напряженности поля точечного заряда равна
,
Если в условии задачи не упоминается среда, в которой находятся заряды, то по умолчанию считается, что среда – воздух и .
Получили интеграл, взяв который, получим формулу для вычисления работы:
,
или окончательно получим
.
2 способ. При таком методе решения задачи мы воспользуемся теоремой о потенциальной энергии. Электростатические поля – потенциальные поля, поэтому работа сил поля по перемещению заряда равна убыли потенциальной энергии перемещаемого заряда. Тогда , где 1 и 2- - потенциалы электростатического поля, созданного первым шариком на расстояниях r1 и r2 от него. В этом случае мы воспользуемся уже выведенной формулой для вычисления потенциала. Потенциал поля точечного заряда q1 в точках на расстояниях r1 и r2 равен
и .
Тогда
Работа же внешних сил А = -Аэл = 1,210-6 Дж.
Ответ: для того чтобы сблизить указанные заряженные шарики, необходимо внешним силам совершить работу А = 1,210-6 Дж. Оба способа решения задачи дают одинаковый ответ.
Пример 3.3.3
Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечно длинной нитью с линейной плотностью заряда = 0,2 мк Кл/м. Какую скорость V будет иметь покоящийся электрон, если он под действием сил поля, приблизится к нити с расстояния r1 = 1 см до расстояния r2 = 0,5 см.
Дано:
= 0,2 мк Кл/м = 210-7 Кл/м ;
r1 = 1 см = 0,01 м;
r2 = 0,5 см = 510-3 м;
me = 9,110-31 кг;
V0 = 0
_е_=1,610-19Кл_
___________
V - ?
Анализ и решение: На рисунке показаны силовые линии поля нити в плоскости, перпендикулярной самой нити, и радиальная ось.
Для описания поведения заряженной частицы в электростатическом поле можно применить закон сохранения энергии, т.к. система замкнута и консервативна.
При движении отрицательной частицы силы поля будут совершать положительную работу, и это приведет к тому, что потенциальная энергия заряда будет убывать, а кинетическая возрастать.
В первой точке электрон имеет только потенциальную энергию, поскольку в начальный момент он покоился,
Wк1 = 0, W п1 = e1.
Во второй точке у заряда будет и потенциальная и кинетическая энергия
W п2 = e2.
По закону сохранения энергии
Wк1 + Wп1 = Wк2 + Wп2
или
;
Для нахождения (2 - 1) воспользуемся формулой, связывающей E с потенциалом . Для случая радиальной симметрии
или
Напряженность поля нити нам известна: , для воздуха = 1, с учетом этого, получаем
Проинтегрируем это уравнение по координате r
вынесем постоянные множители из-под интеграла и получим
Используя табличные интегралы, получим
,
или
Подставляя полученное уравнение в выражение закона сохранения энергии, получим
-
отсюда
Подставляя численные значения, получаем
Ответ: электрон приобретет скорость, равную V = 2,97107 м/с.
Пример 3.1 Две длинные одноимённо заряженные нити расположены на расстоянии r1= 10см друг от друга. Линейные плотности зарядов одинаковы и равны ==10мкКл/м.
Какую работу А на единицу длины нити надо совершить, чтобы раздвинуть нити до расстояния = 20см ?
Анализ :
Дано: |
||
r |
=10см =20см =10мкКл/м |
|
r2 |
||
= |
||
a |
=10см |
|
1) E-? 2) A-? |
||
|
|
|
|
Сила взаимодействия этих заряженных нитей зависит от расстояния между ними, поэтому работу сил электростатического поля при раздвижении нитей надо вычислять через интеграл.
Решение:
1) Из рисунка видно, что направлен вправо, и модуль его можно найти как:
т.к. и , где k=.
Окончательно получаем
.
2) Сила взаимодействия заряженных нитей зависит от расстояния между ними. Каждая нить создаёт поле, и это поле действует на заряд другой нити. - напряженность поля первой нити.
-сила, действующая на единицу длины второй нити равна:
Работу этой силы можно вычислить как:
.
Возьмём интеграл от этой функции. Все постоянные величины выносим за знак интеграла и получаем табличный интеграл, который равняется натуральному логарифму аргумента.
Подставим пределы интегрирования и окончательно получаем:
.
Используя данные задачи, получим численный ответ
Ответ: 1) 2)
Пример 3.3.4.
На отрезке прямого повода длиной распределен заряд с линейной плотностью
τ = 103 нКл/м. Определите работу сил поля А по перемещению заряда q = 1нКл из точки 1 в точку 2 (см. рис.).
Дано:
τ = 103 нКл/м
q = 1нКл
Найти:
А = ?
Анализ: Задачу можно, как рассматривалось выше, решать двумя способами. Мы выберем в этом случае второй способ решения, т.е. воспользуемся теоремой о потенциальной энергии. Работа сил электрического поля равна убыли потенциальной энергии переносимого заряда. Для того, чтобы воспользоваться этой теоремой, первым действием получим формулу для вычисления потенциала поля стержня в точках, лежащих на оси стержня, а затем вычислим работу сил поля по перемещению заряда. Поскольку в условии задачи не указана среда, в которой находятся заряды, то считается, что среда вакуум или воздух, т.е. .
Решение: На рисунке показан стержень; ось координат расположена вдоль стержня и начало координат связано с одним из концов стержня. Выделим на стержне бесконечно малый элемент длины dx, заряд на котором можно считать точечным dq = τ dx. Для определения потенциала создаваемого отрезком прямого тонкого стержня длинной , в точке с координатой , лежащей на продолжении оси этого стержня, воспользуемся принципом суперпозиции для потенциала. В случае непрерывного распределения заряда надо проинтегрировать уравнение
,
которое определяет потенциал поля, создаваемого зарядом dq, в точке с координатой х. Если перемещать элементарный заряд dq по всей длине стержня и суммировать потенциал в точке с координатой х, то придем к интегралу
.
Взяв его, получим формулу для вычисления потенциала поля заряженного стержня в токах, лежащих на оси стержня
.
Для определения работы сил поля по перемещению заряда q из положения 1 с координатой в положение 2 с координатой , воспользуемся теоремой о потенциальной энергии
.
В нашем случае , координата конечного положения заряда, равна, а , координата начального положения заряда, равна . С учетом этого, получаем выражение для вычисления разности потенциалов
.
Применим теорему о потенциальной энергии, подставив в нее полученное выражение для вычисления разности потенциалов,
Окончательно получаем
.
Подставим численные значения величин и получим численное значение искомой величины:
.
Ответ: Работа сил электростатического поля положительная и равная .