3.3.2.Порядок решения задач на применение теоремы Гаусса к расчету напряженности электрического поля.

1. Разобраться с симметрией заданного распределения зарядов и нарисовать картину силовых линий поля.

2. Выбрать поверхность интегрирования, учитывая симметрию задачи. Форма поверхности должна быть такой, чтобы силовые линии либо скользили по ее поверхности, либо были ей перпендикулярны. Разумный выбор поверхности интегрирования упрощает взятие интеграла при вычислении потока вектора напряженности через эту поверхность.

3. Найти поток вектора через выбранную поверхность.

4. Вычислить заряд, охватываемый этой поверхностью.

5. Подставить в теорему полученные выражения для потока вектора напряженности и суммарного заряда. Из полученного уравнения выразить искомую величину Е.

6. Если в задаче заданы численные значения величин, то, подставив их, получить численные значения напряженности поля для указанных точек.

7. Построить график зависимости величины напряженности поля от расстояния до заряда, если это требуется по условию задачи.

3.3.3. Примеры решения задач на применение теоремы Гаусса.

В тех случаях, когда поле создается симметричным распределением зарядов, можно найти зависимость напряженности поля от координат, используя теорему Гаусса. Рассмотрим несколько примеров решения задач по вычислению напряженности поля с применением теоремы Гаусса.

Пример 3.2.1 Две концентрические проводящие сферы радиусами R₁= 6 см и R₁= 10 см несут соответственно заряды q₁ = 1нКл и q₂ = - 0,5нКл.

1.Найдите напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сферы на расстояниях r₁ = 5 см, r₂ = 9 см и r₃ = 15 см.

2,Постройте график зависимости .

Анализ и решение: Силовые линии поля сферически распределенного заряда являются радиальными линиями. Выполним рисунок, на котором покажем ход линий напряженности двух заряженных сферических поверхностей, имеющих общий центр.

Нас интересуют три области, в которых надо определить, как зависит напряженность поля от расстояния до центра сфер. Эти области отмечены на рисунке римскими цифрами. Поскольку заряженные тела – сферы, то можно применить теорему Гаусса для решения задачи.

1. Нарисуем картину силовых линий заданного распределения зарядов.

Силовые линии (линии напряженности электрического поля) заряженного сферического тела представляют собой радиальные линии, направление которых зависит от знака заряда. Если заряд положительный, то силовая линия направлена от центра сферы, а если заряд отрицательный, то наоборот (см. рис.).

2. Выберем поверхность интегрирования, учитывая симметрию задачи.

Силовые линии поля - радиальные линии, поэтому поверхность интегрирования удобно выбрать в виде сферической поверхности. При таком выборе вспомогательной Гауссовой поверхности вектор напряженности электрического поля будет перпендикулярен поверхности в любой точке. Для каждой области , в которой надо найти напряженность поля, значение радиуса этой поверхности будет различное. На рисунке сечение этих поверхностей изображено штрих пунктирными линиями. Вектор внешней нормали к поверхности и вектор напряженности поля сонаправлены и угол между ними равен ( α = 0⁰) нулю.