2. Основные законы теории колебаний и волн.

1. Гармонические колебания.

Гармонические колебания – колебания, происходящие по гармоническому закону (закону синуса или косинуса).

Х = А sin (ωt + φ₀). (1)

В уравнении 1: А - амплитуда колебаний; (ωt + φ₀) – фаза колебаний;

φ₀- начальная фаза; ω – круговая (циклическая) частота.

вектора, фаза – угол между вектором и осью Х.

Рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника. Один

к

массой m скользящему с трением вдоль горизонтального стержня. На тело действуют сила тяжести mg сила упругости пружины F_у=-kx ,

нормальная реакция опоры N Запишем 2-й закон Ньютона. (1)

онец пружины жестко закреплен. Второй конец прикреплен к грузу

Запишем это уравнение в проекции на ось Х: ma=F_у или m(d²x/dt²)= -kx

Разделим обе части уравнения на m и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения (d²x/dt² )+ (k/m)x=0 . Введем обозначения (k/m)=ω₀², где ω₀ - циклическая частота собственных колебаний. Перепишем уравнение

(d²x/dt² ) + ω₀² x=0 (2)

Получили уравнение второго порядка гармонических колебаний, так как

решением его является уравнение гармонических колебаний

Х=Аcos(ω₀t + φ₀)

Если подставить в уравнение 2 значения d²x/dt² (d²x/dt² =-А ω₀² cos(ω₀t + φ₀)) и X (Х=Аcos(ω₀t + φ₀) ), то получим -А ω₀² cos(ω₀t+φ₀) +А ω₀² cos(ω₀t+φ₀)=0.

Следовательно Х=Аcos(ω₀t + φ₀) является решением уравнения 2.

Круговая частота ω связана с частотой колебаний υ соотношением υ= ω/2π. Период колебаний Т=1/υ =2π/ω. Для пружинного маятника Т=2π, для математического T =2π, для физического маятника (I - момент инерции тела относительно оси, m –масса маятника, h – расстояние между центром тяжести и осью вращения).

Скорость материальной точки колеблющейся по гармоническому закону: ν = dx/dt= - Aωsin(ωt + φ₀) (3); ν = - ν_max sin(ωt + φ₀)=

ν_max cos((ωt + φ₀)+π/2), где ν_max= Aω.

Фаза скорости больше фазы смещения на π/2.

Ускорение а = dν/dx =- Aω² cos(ωt + φ₀) (3);

a = - a_max cos(ωt + φ₀) =a_max cos((ωt + φ₀) + π) (4), где a_max = Aω².

Ускорение и смещение находятся в противофазе.

Кинетическая энергия колеблющейся материальной точки

Е_к = (½)mν² =(½)m A ²ω ²sin ²(ωt + φ₀)

Е_к =(½)k A ²sin ²(ωt + φ₀) (5), где mω ²=k.

Потенциальная энергия

Е_п =(½)к х² =(½)к А ²cos ²(ωt + φ₀) (5)

Полная механическая энергия

Е= Е_к+ Е_п=(½)k A ² (sin ²(ωt + φ₀)+ cos ²(ωt + φ₀)) =(½)k A ² (6)

При отсутствии сил трения полная механическая энергия сохраняется.

2.Затухающие колебания.

Действие сил трения существенно изменяет характер движения, колебание становится затухающим. Рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника.

На тело действуют сила тяжести сила упругости пружины , сила трения , нормальная реакция опоры . Запишем 2-й закон Ньютона.

=+ ++.

Запишем это уравнение в проекции на ось Х:

ma=F_у+Fтр или m(d²x/dt²)= -kx – r(dx/dt).

Разделим обе части уравнения на m и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения

(d²x/dt² )+ (r/m) (dx/dt) +(k/m)x=0 .

Введем обозначения (r/m)=2β и (k/m)=ω₀², где β - коэффициент затухания, а ω₀ - циклическая частота собственных колебаний. Перепишем уравнение

(d²x/dt² )+ 2β(dx/dt) + ω₀² x = 0 (7)

Получили уравнение второго порядка затухающих колебаний. Решение этого уравнения существенно зависит от знака разности ω²= ω₀² – β², где ω циклическая частота затухающих колебаний.

При ω₀² – β²>O решение записывается в следующем виде:

X=A₀e^-βt cos(ωt +φ₀) (8), где

(A₀e^-βt) - амплитуда затухающих колебаний, которая изменяется по экспоненциальному закону.

Период затухающих колебаний Т=2π/ω=.

При очень малом трении (ω₀² >> β²) Т=2π/ω₀.

Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания β: чем больше β, тем сильнее торможение.

На практике степень затухания характеризуют логарифмическим декрементом затухания

λ =ℓn =ℓn = ℓn e ^βt= βt

λ= βt (9)

При сильном затухании (β²>ω₀²) период является мнимой величиной, а колебания апериодическими.