Образец решения задачи.

Условие задачи 1.

Два звука одинаковой частоты ν =1кГц отличаются по громкости на

∆Е_ф = 20 фон. Во сколько раз отличаются их интенсивности?

Анализ условия задачи.

По условию задачи даны: два источника звука с интенсивностями I₁ и I₂; один приемник, воспринимающий эти звуки громкостями Е_1ф и Е_2ф, отличающиеся на ∆Е_ф. Источники излучают звуки одинаковой частоты.

Необходимо вычислить во сколько раз отличаются их интенсивности (I₁/I₂) .

Запишем условие задачи и ее решение в символической форме.

Опр.I₁/I₂_____ В соответствии с психофизическим законом Вебера-

∆Е_ф = 20 фон Фехнера Е_ф = 10 k lg(I/I₀). Тогда для звука

ν =1кГц от первого источника Е_1ф =10 k lg( I₁/I₀),

k =1 а для второго - Е_2ф =10 k lg( I₂/I₀)

По условию задачи ∆Е_ф = Е_ф1 - Е_ф2 = 10 k lg( I₁/I₀) - 10 k lg( I₂/I₀)

∆Е_ф = 10 k (lg( I₁/I₀) - lg( I₂/I₀))

Разность логарифмов равна логарифму отношений.

∆Е_ф = 10 k lg (I₁ / I₂) => lg (I₁ / I₂)= ∆Еф/10 k

Потенцируя, получаем I₁ / I₂ = 10^{∆Еф/10 k}

На частоте 1 кГц коэффициент k =1.

Подставляем числовые значения, получаем

I₁ / I₂ = 10^20/10 = 10² =100

Ответ: интенсивности звуков от двух источников отличаются в 100 раз.

Условие задачи 2.

Покажите, что заполнение гелем пространства между ультразвуковым излучателем и кожей человека способствует эффективному прохождению ультразвука в биологические ткани (воду). Плотности геля, воздуха и биологической ткани (воды) соответственно равны: ρ_г=800кг/м³; ρ_в=1,3кг/м³; ρ_т=1000кг/м³. Скорость ультразвука в геле v_г = 1500 м/с, в воздухе v_в = 330 м/с, v_т = 1500 м/с.

Анализ условия.

По условию задачи имеются (рис.7): источник УЗ (ультразвуковой излучатель - 1), биологическая ткань (кожа человека 3 и другие ткани - 4), промежуточная среда (воздух или гель - 2).

Рис.7.

На границе промежуточная среда – биологическая ткань УЗ волна (I)

частично отражается (I₂) и частично проходит в биологическую ткань (I₁).

Доля интенсивности волны, прошедшей во вторую волну, определяется коэффициентом проникновения (β) УЗ волны и вычисляется по формуле Рэлея.

Сравнивая коэффициенты проникновения для случаев воздух – ткань и гель – ткань, можно выявить условия более эффективного проникновения УЗ в биологические ткани.

Запишем условие задачи и ее решение в символической форме.

Опр. β₁, β₂ По формуле Рэлея определим коэффициент

ρ_г =800 кг/м³ проникновения β₁ для границы воздух – ткань:

ρ_в=1,3кг/м³ β₁= 4(v_в ρ_в / v_т ρ_т)/(( (v_в ρ_в / v_т ρ_т)+1)²

ρ_т=1000кг/м³ β₁= 4(330 м/c• 1,3кг/м³/1500м/с•1000кг/м³)/((330 м/c•

v_г = 1500м/с 1,3кг/м³/1500м/с•1000кг/м³) + 1)² = 0,0012

v_в = 330 м/с Аналогично определим коэффициент проникновения β₂ для

v_т = 1500 м/с границы гель – ткань:

β₂ = 4(v_г ρ_г/ v_т ρ_т)/((v_г ρ_г/ v_т ρ_т) + 1)²

β₂ = 4(1500м/с 800кг/м³/1500м/с•1000кг/м³)/( (1500м/с 800кг/м³/1500м/с • 1000кг/м³) + 1)² = 0,98

β₁ < β₂

Ответ: расчеты позволяют сделать вывод, что использование геля вместо воздуха в качестве промежуточной среды при ультразвуковом облучении биологических тканей является более эффективным.