5. Перенос молекул (атомов) через мембраны, уравнение Фика.

Явления переноса – это самопроизвольные необратимые процессы, в которых благодаря молекулярному движению из одной части системы в другую переносится какая-либо физическая величина.

К явлениям переноса относятся:

- диффузия (перенос массы);

- вязкость (перенос импульса из слоя в слой);

- теплопроводность (перенос энергии);

- электропроводность (перенос электрического заряда).

Как синоним переноса частиц в биофизике используется термин транспорт частиц.

Диффузия – явление самопроизвольного переноса массы вещества из области с большей концентрацией в область с меньшей. Диффузия приводит к равномерному распределению вещества по всему объему. Количественно диффузия описывается специальными параметрами.

1. Потоком вещества (Ф) через элемент поверхности, который перпендикулярен направлению диффузии, называется количество этого вещества, переносимого через данный элемент за единицу времени.

Ф = - D ^.(dc/dх)^.S, где

D – коэффициент диффузии. Знак (-) означает, что поток направлен в сторону убывания концентрации вещества.

2. Плотностью потока вещества (I) называется отношение потока вещества (Ф) через элемент поверхности к площади этого элемента (S):

I =Ф/S

Подставив в эту формулу выражение для потока уравнением диффузии (уравнением Фика):

I = - D dc/dх

Знак (-) показывает, что суммарная плотность потока вещества при диффузии направлена в сторону, противоположную градиенту концентрации.

Рассмотрим в качестве примера поток незаряженных частиц через биологическую мембрану.

Обратим внимание на следующий известный факт: на границе раздела двух сред (например, воды и масла) обязательно имеет место скачкообразное изменение концентрации частиц диффундирующего вещества.

Коэффициент распределения вещества (к) – это величина, равная отношению концентраций частиц в граничащих средах:

К = с_{1 среда} / с_{2 среда}

Вещество, диффундирующее через мембрану, преодолевает три барьера (рис.6)

Рис. 6

а) примембранный слой,

б) саму мембрану,

в) противоположный примембранный слой.

Коэффициент распределения вещества между мембраной и окружающей средой равен коэффициенту распределения вещества между мембраной и клеткой:

к = с_нар^м/ с_нар = с _вн^м/ с_вн

Поэтому с_нар^м = к с_{нар ,} с _вн^м = к с_вн.

Причем, величины с_нар и с_вн. можно измерить.

Учитывая малую толщину мембраны, можно считать, что концентрация молекул диффундирующего вещества изменяется в ней линейно. Поэтому градиент концентрации диффундирующего вещества постоянен:

dc/dх = (с_нар^м - с _вн^м)/L

Запишем выражение для плотности потока:

I = -D (с_нар^м - с _вн^м)/L,

или учитывая коэффициент распределения вещества, получим

I = Dк (с _вн - с_нар)/L.

Введем коэффициент проницаемости мембраны (Р)

Р = Dк/L,

который зависит от коэффициента диффузии, а также от толщины мембраны и коэффициента распределения вещества между мембраной и окружающей средой. Под проницаемостью понимают способность мембраны пропускать сквозь себя определенные вещества.

Окончательно получаем уравнение Фика для диффузии в мембранах:

I = Р(с_вн - с_нар)

6. Перенос заряженных частиц, электродиффузионное уравнение Нернста – Планка.

Рассмотрим перенос ионов. При отсутствии внешнего воздействия между поверхностями мембраны существует разность потенциалов, то есть в мембране постоянно есть электрическое поле. При отсутствии градиента концентрации главная движущая сила при переносе ионов – это электрическое поле.

На отдельный ион в электрическом поле действует сила

f₀= qE, где

Е – напряженность электрического поля, в котором находится ион, а

q = ze – заряд иона (z – валентность иона).

Если учесть, что Е = - grad φ = - dφ /dx, можно записать:

f₀= ze (dφ /dx).

На один моль ионов будет действовать сила

f = f₀N_a. = - z e N_a (dφ /dx) = - zN_a F (dφ /dx), где

N_a – постоянная Авогадро, F = e N_a - постоянная Фарадея.

Помимо электрической силы, на ионы действуют так же силы сопротивления. Поэтому движение ионов является равномерным и характеризуется средней скоростью v. Между средней скоростью движения ионов и силой, действующей на один моль, существует прямо пропорциональная зависимость:

v= u_мf, где

u_м – коэффициент пропорциональности, называемый подвижностью ионов.

Запишем

v = - u_м z F (dφ /dx),

Чтобы найти поток вещества, переносимый ионами через элемент

поверхности S, выделим цилиндрический объем электролита, ограниченный двумя такими элементами. Длину цилиндра l выразим через скорость и время:

l =vt. Объем цилиндра: V = Sl = Svt

За время t все ионы, находящиеся в цилиндре, пройдут через левую площадку S. Количество перенесенного при этом вещества равно произведению концентрации на объем: m = cV = cSvt (кг) или ν = cSvt (моль).

Найдем поток вещества Ф: Ф = cSv

Плотность потока: I = Ф/S = сv.

Используя, что v = - ν_м z F (dφ /dx), получим I = -cν_м z F (dφ /dx).

В общем случае перенос частиц определяется как градиентом их концентрации, так и воздействием электрического поля:

I = - D dc/dx - cν_м z F dφ /dx.

Это - уравнение Нернста-Планка (электродиффузионное уравнение). Оно устанавливает зависимость плотности диффузионного потока от концентрации ионов и от напряженности электрического поля.