Задачи для самостоятельного решения.
-
Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид:
0.2 d2x/dt2 + 0,6 dx/dt + 0,8 x =0. Найти коэффициент затухания β, циклическую частоту ω и период колебаний Т.
2. Определить частоту собственных колебаний ноги человека, рассматривая ее как физический маятник, приведенная длина которого
ℓ=40 см. Приведенная длина - это длина математического маятника ℓ, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника.
3. Горизонтальный пружинный маятник (тело массой m=1кг, прикрепленное к пружине жесткостью k=10 Н/м) совершает колебательные движения. Начальная амплитуда колебаний А0=1см. Записать дифференциальное уравнение колебаний, а также решение этого уравнения.
4. Известно, что человеческое ухо воспринимает упругие волны в интервале от 20 Гц до 20 кГц. Каким длинам волн соответствует этот интервал в воздухе? Скорость звука в воздухе 340 м/с.
5. Определить разность фаз в пульсовой волне между двумя точками артерии, расстояние между которыми 20 см. Скорость пульсовой волны
10 м/с. Колебания сердца считать гармоническими с частотой 1,2 Гц.
6. Скорость движения эритроцита в артерии равна 0,3 м/с. Скорость ультразвука – 1500 м/с, частота - 100 кГц. Найти доплеровский сдвиг частоты, если эритроцит движется навстречу технической системе.
Образец решения задачи.
1) Условие задачи.
Горизонтальный пружинный маятник (тело массой m=100г, прикрепленное к пружине жесткостью k=1 Н/м) совершает колебательные движения в вязкой среде. Сила сопротивления прямо пропорциональна скорости. Коэффициент пропорциональности r=0,01 Нс/м. На колебательную систему действует внешняя вынуждающая сила F=5 sin (πt/2). Записать дифференциальное уравнение колебаний, а также решение этого уравнения. При какой частоте внешней вынуждающей силы в системе наступит резонанс?
Анализ условия задачи.
По условию задачи
дано тело, которое совершает колебательные
движения. Будем считать тело материальной
точкой. Массой пружины и силой трения
между опорой и телом пренебрежем. Укажем
действующие
силы. Необходимо записать уравнения динамики (X(m,k,r,t,F)) и кинематики (Х(t)) вынужденных колебаний, а также определить величину резонансной частоты (ωрез).
Запишем условие и решение задачи в символической форме.
По второму
закону Ньютона:
В проекции на ось
Х ma = Fу+Fтр+F
Fу=-kx
, Fс=-rν,
а = d2x/dt2
ν=dх/dt,
F=F0
sin ωt
m(d2x/dt2)=
-kx – r(dx/dt) + F0
sin ωt.=>
(d2x/dt2
)+ 2β(dx/dt)
+ ω02
x= f0
sin ωt, где
(k/m)=ω02
, (r/m)=2β,
f0=F0/m
Опр.X(m,k,r,t,F)=?
X (t)=?_
ωрез=?___
m=100г
k=1Н/м
r
=0,01Нс/м
A0=
2см
F
= 5 sin
(πt/2).
ω=π/2рад/с=1,57рад/с
2β=(0,01Н•с/м)/ 0,1кг=0,1(кг• м •с)/(с2•м •кг)=0,1с-1; β=0,05 с-1
ω02 = (1 Н/м)/0,1кг=10 кг м/м с2кг=10 с-2; ω0=3,16 с-1
f0= 5 Н/0,1 кг = (50) кг м/с2кг=50 м/с2
(d2x/dt2 )+ 0,1(dx/dt) + 10 x= (50) sin (πt/2)
Решением этого уравнения является
Х = А sin(ωt + φ0 ) ω=π/2 => Х= А sin(πt/2+φ0)
А= f0/
;
tg
φ0=-2βω/(ω
2 –
ω02)
tg φ0=- 2•0,05 с-1 •1,57 с-1/(2,46 с-2-10 с-2)=0,02082
φ0 =1,3 рад
Х=6,63 sin(1,57 • t +1,3)
=3,16 рад/с
Ответ: 1) (d2x/dt2 )+ 2β(dx/dt) + ω02 x= f0 sin ωt;
2) (d2x/dt2 )+ 0,1(dx/dt) + 10 x= (50) sin (1,57•t);
3) Х = А sin(ωt + φ0)
4) Х=6,63 sin(1,57 • t +1,3)
5) ωрез= 3,16 рад/с