3.1.7.2. Квантовые гармонические осцилляторы в кристаллической решетке. Понятие о фононаx

Из квантовой механики известно, что энергетический спектр гармонических осцилляторов является дискретным и эквидистантным (рис.64), т.е. расстояние между соседними энергетическими уровнями одинаково.

Рис.64 . Энергетический спектр гармонических осцилляторов, излучающих фононы с

энергиями ЙЮ 2, ЙЮ3 и ЙЮ _max.

Цифрами околоэнергетических уровней указаны номера квантовых чисел п. Значения энергий отсчитываются от уровня с п = 0. Горизонтальной пунктирной линии соответствует средняя энергия теплового движения атомов при температуре Т . Энергия такого осциллятора определяется соотношением

(19)

при п = 0,1,2,...,

W_n = Йю(п + 1),

где Й - постоянная Планка; ю - циклическая частота колебаний.

При этом в основном состоянии (п = 0) он обладает не равной нулю энергией

Wo = - Йю . (20)

2

Это означает, что даже при отсутствии теплового движения (Т = 0 К) атомы твердого тела будут совершать колебания. Подобные колебания называют "нулевыми", они описываются только в квантовой механике и не

имеют классических аналогов. Кроме того, из квантовой механики известно, что при переходе гармонического осциллятора из одного энергетического состояния в другое квантовое число n может изменяться только на единицу. Поэтому при его переходе из возбужденного состояния (n > 0) в основное (n = 0) он будет последовательно излучать одинаковые порции энергии ha . Таким образом, так же, как излучение света осуществляется квантами (теория Планка), так и изменение энергии колеблющихся атомов твердого тела квантовано. В оптике кванту энергии света соответствует частица «фотон». В твердом теле кванту излученной энергии колебаний соответствует фонон. Энергия фонона равна

Жф = ha. (21)

Масса и импульс фонона определяется по формулам теории относительности. В отличие от обычных частиц фононы существуют только внутри кристаллов. Поэтому их относят к квазичастицам. Отличие квазичастицы от реальной частицы в том, что первые не могут существовать вне кристалла, тогда как реальные частицы (электроны, фотоны и др.) существуют везде.

3.1.7.3. Газ фононов при различных температурах.

Понятие о температуре Дебая

Как уже отмечалось, что фононы излучаются гармоническими осцилляторами при переходе из возбужденных по энергии состояний в состояния с меньшими энергиями. При Т = 0 К, когда колебания атомов твердого тела сводятся к "нулевым", а осцилляторы находятся в основном состоянии, фононов нет. С увеличением температуры и тепловой энергии осцилляторы переходят в возбужденные по энергии состояния и возникают фононы. Число фононов будет тем больше, чем выше температура.

Для каждого кристаллического твердого тела существует такая

123

температура, при которой начинают появляться фононы с максимально возможной энергией. Эта температура была введена Дебаем, который учел, что распространение колебаний в кристалле имеет минимальную длину волны (равную двум периодам решетки) и поэтому существует максимальная частота колебаний ю_гаах. Значение температуры Дебая определяется условием

^kTD = ^ЙЮтах . ⁽²²⁾

Величины T_D являются фундаментальными характеристиками твердых тел и указываются в таблицах. Например, для свинца, меди, германия, алмаза эти значения составляют соответственно 90, 315, 366 и 1190 К. Температура Дебая характеризует не только тепловые свойства кристаллов, но также энергию связи их атомов, а значит, и механические свойства: прочность, упругие модули и т.д.

Используя понятие о T_D, можно охарактеризовать состояние фононов при различных температурах.

При Т << T_D (низкие температуры) число фононов в кристалле невелико, они редко испытывают столкновения друг с другом. Наиболее вероятны их столкновения с примесными атомами и дефектами кристаллической решетки. Поэтому средняя длина свободного (без столкновений) пробега X фононов велика (сопоставима с линейными размерами кристалла) и не зависит от температуры.

В области высоких температур, т.е. при Т > T_D , число фононов продолжает расти, поскольку каждый гармонический осциллятор излучает все большее их количество. Вероятность столкновения фононов друг с другом также резко увеличивается и становится больше вероятности их столкновения с примесями и дефектами кристаллической решетки. Средняя длина свободного пробега, напротив, уменьшается обратно пропорционально температуре.