Домашняя работа № 2 по курсу "Основы кристаллографии и теория дефектов кристаллического строения" Тема: Элементы симметрии и кристаллографические зоны

Для успешного выполнения этой работы по указанной теме предварительно рекомендуется познакомиться с теоретическим материалом, изложенным в параграфах 2, 3 и 5. Основные приемы решения представленных задач проиллюстрируем на конкретных примерах.

Пример 1. Определите ось зоны для следующих пересекающихся плоскостей: (102) и (201). Дайте изображение этих плоскостей и оси зоны.

Р е ш е н и е. Для решения этой задачи воспользуемся известным правилом зон, которое гласит, что сумма попарных произведений символов плоскости и лежащего в ней направления равняется нулю:

hu + kv + lw =0.

Это выражение нам потребуется, чтобы проверить впоследствии выполненные расчеты. Само же решение будем строить на кристаллографическом соотношении, устанавливающем связь между известными пересекающимися плоскостями (hi k_i l_i) и (h₂ k₂ l₂) и образующейся линией пересечения (направлением ) с неизвестными индексами [u v w]. В этом случае для отыскания индексов направления воспользуемся выражениям:

u = k_i l₂ - _-l_i k₂ v = -lj h2 - hi l2 w = hi k2 - ki h2

Выполним необходимые расчеты: u = 0-1 - 2-0 = 0; v = 2-2 - 1-1 = 3 и w = 1-0 - 0-2 = 0. Таким образом, получаем [030] или же в окончательном виде [ 010 ] (индексы должны иметь такую запись, чтобы общий знаменатель для них мог делиться только на 1). Легко проверить правильность записанных символов данного направления, используя правило зон : 1-0 + 0-1 + 2-0 = 0 и соответственно 2-0 + 0-1+ 1-0 = 0.

На рис.75 дано изображение обеих пересекающихся плоскостей и оси

зоны.

(201)

7

Рис. 75. Пересекающиеся плоскости и ось зоны

Пример 2. Какие из перечисленных ниже плоскостей могут входить в

кристаллографическую зону [ X 1 1]: (100); (110); (101); (211); (321); (011) ?

Р е ш е н и е. В данном случае используем уравнение, описывающее правило зон. Основная идея -, если плоскость принадлежит заданной зоне, то должно выполняться искомое условие, т.е. сумма попарных произведений символов равняется нулю. Проверим на принадлежность данной зоне первой плоскости (100): 1- -1 + 0-1 + 0-1 = 1 и 1 ф 0, следовательно, эта плоскость не относится к указанной зоне. Проверим следующую плоскость (110): 1 - -1 + 1-1 + 0-1 = 0 и, стало быть, данная плоскость принадлежит рассматриваемой зоне. Если действовать и далее подобным образом, то итоговый результат будет следующим: в указанную зону [1 1 1] входят плоскости (110), (101), (211) и (321).

Пример 3. Одна из кристаллических модификаций олова (P-Sn) имеет объемноцентрированную тетрагональную решетку, а соответственно одна из модификаций железа (a-Fe) - решетку объемноцентрированного куба. Имеют ли они оси симметрии четвертого порядка и различаются ли их числом? Дайте изображение этих решеток и указанных осей.

Решение. Параметры элементарной ячейки тетрагональной сингонии составляют соответственно a = b ф с и a = в = у =90°, поэтому фигура представляет собой четырехгранную призму, в основании которой лежит квадрат (напоминает " вытянутый " куб). Такой многогранник имеет одну ось симметрии четвертого порядка (обычно ее ориентируют вдоль координатной оси z). Для куба характерно следующее соотношение параметров элементарной ячейки: a = b = си a = в = у =90°; с ним совместимы три четверные оси симметрии, расположенные параллельно всем трем осям координат (т.е. вдоль ребер кубической решетки).

Ниже на рис.76 дано изображение осей симметрии L₄ для обеих фигур.

z

² А ^

ZZrZTl

у

/I

V У

I/

х/

X

/

Рис.76. Оси симметрии 4-го порядка для четырехгранной призмы и куба

Пример 4. На рис.77 дано изображение фигуры, полученной после её симметрического преобразования. Какая операция симметрии была осуществлена и какому элементу симметрии соответствует эта операция?

Чг

Рис.77. Изображение фигуры после симметрического преобразования

Решение. Очевидно, что такое самосовмещение фигуры достигается в результате отражения в точке и этой операции соответствует наличие центра симметрии (рис.78). Стрелками показано положение некоторых эквивалентных точек для прямого изображения и отраженного. Отметим, что после отражения фигура располагается обратной стороной (показано затемнением).

Рис.78. Схема, поясняющая операцию симметрии путем отражения фигуры в точке

Ниже приведены три задания, связанные с решением рассмотренных примеров.

Задание 1

1. Определите ось зоны для следующих пересекающихся плоскостей: (010) и (110). Дайте изображение этих плоскостей и оси зоны. 2 Какие из перечисленных ниже плоскостей могут входить в зону [ 0 1 1]: (100); (110); (101); (201); (122); (011) ?

3. Одна из кристаллических модификаций олова (P-Sn или белое олово) имеет объемноцентрированную тетрагональную решетку, а другая его модификация (a-Sn или серое олово) - кубическую решетку. Имеют ли они оси симметрии четвертого порядка и различаются ли их числом? Дайте изображение этих решеток и указанных осей.

4. Какая операция симметрии приведет к самосовмещению этой фигуры (рис.79)?

Q ? О

Рис.79. Поясняющая схема к заданию 1. 143

Задание 2

1. Определите ось зоны для следующих пересекающихся плоскостей: (012) и (021). Дайте изображение этих плоскостей оси зоны.

2. Какие из перечисленных ниже плоскостей могут входить в зону [1 1 0]: (001); (110); (101); (112); (110); (111)?

3. Глинозем (оксид алюминия) типа a-Al₂O₃ имеет ромбоэдрическую (тригональную) решетку, а вюстит (закись железа) FeO относится к соединениям с решеткой гранецентрированного куба. Имеют ли они оси симметрии третьего порядка и различаются ли их числом? Дайте изображение этих решеток и указанных осей.

4. Какая операция симметрии приведет к самосовмещению этой фигуры (рис.80)?

Д ? V

Рис.80. Поясняющая схема к заданию 2

Задание 3

1. Окись ванадия V₂O₅ имеет решетку, относящуюся к ромбической системе (по форме напоминает спичечный коробок). Она содержит три оси симметрии второго порядка, а также три плоскости симметрии. Дайте графическое изображение указанных элементов симметрии.

2. Определите ось зоны для следующих пересекающихся плоскостей: (110) и (101). Дать изображение этих плоскостей оси зоны.

3. Какие из перечисленных ниже плоскостей могут входить в зону [ 1 1 0]: (001); (110); (101); (112); (110); (111)?

4. Как будет выглядеть эта фигура (рис.81) после вращения вокруг данной оси симметрии?

?

L2

Рис.81. Поясняющая схема к заданию 3