1.4. Определение индексов направлений и плоскостей

Анизотропия, присущая кристаллическим материалам, приводит к необходимости введения определенного способа обозначения основных направлений и плоскостей в кристалле. Это позволяет задать их пространственную ориентацию относительно выбранной системы координат. Для этого используется метод специальных символов или индексов. Познакомимся с ними.

Символы направлений. Чтобы найти в рассматриваемой фигуре

индексы кристаллографического направления, нужно предварительно это

направление параллельно самому себе перенести в начало координат (если

оно не проходит через нулевой узел). Тогда индексами данного направления

будут координаты (символы) атома (узла), ближайшего от начала координат,

18

через который проходит данное направление. Тем самым индексы направления - это три целых взаимно простых числа, представляющие собой координаты ближайшего (от нулевого) узла, расположенного на данном направлении. Обозначаются они символами и, v, w и заключаются в квадратные скобки - [uvw].

Рис. 5. Четырнадцать типов элементарных ячеек Браве

В качестве примера рассмотрим рис.6, где изображена простая кубическая решетка. Начало координат (нулевой узел) находится в точке О. Определим индексы направления ОЕ. Поскольку направление уже проходит через начало координат, то можно непосредственно приступить к нахождению индексов. Для этого нужно определить координаты узла Е, измерив их в масштабных отрезках. Соответственно они составят 1 и 1 по осям x и y и 0 по оси z . Следовательно, индексы данного направления будут [110]. Для определения индексов направления ОА необходимо найти координаты узла А - они окажутся равными 1 (по оси х), 2 (по y) и 1 (по z ). Таким образом, данное направление имеет индексы [121]. Если взять направление МD, то оно, как видно, не проходит через нулевой узел. Поэтому предварительно нужно это направление переместить в точку О или же сменить начало координат так, чтобы оно совпало с узлом М. В последнем случае процедура индицирования сведется к определению координат точки D и индексы этого направления

составят [1 11]. Из сказанного легко понять, что направления KC, CF и BD описываются соответственно индексами [010], [0 1 1] и [ 1 1 0].

Рис. 6. Индексы некоторых направлений в кубической решетке

При одновременной смене всех знаков при индексах на обратные

расположение самого направления в пространстве сохраняется прежним -

перемещается лишь начало координат, а само направление сменяется на

противоположное (или, как говорят, меняется точка зрения).

20

Отметим еще одну особенность. В кристалле можно всегда выделить направления, различающиеся порядком расположения индексов и знаков при них, но являющихся эквивалентными по кристаллографическим и физическим признакам. Например, эквивалентными в кубической решетке являются

направления [100], [010], [001], [ 100], [0 10] и [00 1], которые представляют собой ребра куба. Кристаллографическая эквивалентность их проявляется в том, что эти ребра (направления) совмещаются друг с другом при повороте вокруг координатной оси на угол 90^о. Физическая же эквивалентность заключается в том, что эти направления обладают одинаковой структурой в расположении узлов решетки и, следовательно, характеризуются одинаковыми физическими свойствами. Такие эквивалентные направления объединяются в совокупность семейств направлений, различающихся последовательностью индексов или знаком при них. Для их обозначения символы заключаются в угловые скобки <uvw>.

Для количественной оценки числа эквивалентных направлений внутри данной совокупности используется специальный показатель - фактор повторяемости Р, который равен числу разрешенных перестановок индексов местами и знаками. Например, совокупность типа <u00> имеет 6 эквивалентных, но не параллельных направлений, <uu0> - 12, <uuu> - 8, а <uv0> уже 24 и т.д.

Символы плоскостей. В кристаллографии плоскости проводятся только через узлы кристаллической решетки, поэтому между двумя параллельными плоскостями можно провести лишь ограниченное число параллельных плоскостей.

Для обозначения плоскостей используется особая система индексов (их называют индексами Миллера), которые представляют собой величины, обратные отрезкам, отсекаемым плоскостями на осях координат. Поэтому индицирование плоскостей проводится в следующей последовательности:

а) искомую плоскость необходимо вынести из начала координат (если, конечно, она проходит через нулевой узел) и определить величины отрезков (в масштабных единицах), которые отсекаются ею на координатных осях;

б) взять обратные значения этих отрезков, привести их к общему знаменателю и его отбросить, оставшиеся в числителе величины и будут определять индексы данной плоскости.

Таким образом, индексы (символы) плоскости - это три целых взаимно простых числа, представляющих собой величины, обратные отрезкам, отсекаемым данной плоскостью на координатных осях. Индексы плоскости обозначаются символами h, k, l и заключаются в круглые скобки (hkl ).

Поясним это примерами. Рассмотрим на рис.7 плоскость АВС, она не проходит через нулевой узел и поэтому можно сразу определить, какие отрезки отсекаются ею на координатных осях. На оси х плоскость отсекает отрезок, равный 1, на оси y - это 2, а на z - 1/2. Возьмем обратные величины этих отрезков: 1/1, 1/2 и 2/1. Приведем их к общему знаменателю, т.е. 2/2, 1/2, 4/2, а затем его отбросим. В числителе остаются 2, 1 и 4, которые и будут являться индексами данной плоскости (214). Выделим теперь плоскость КМС. В качестве начала координат удобно выбрать узел Р, тогда отсекаемые отрезки будут составлять 1, 1 и 1. Следовательно, индексы этой плоскости (111). При определении индексов плоскости ОDFK предварительно нужно будет перенести ее из начала координат или же взять за нулевой узел другой угол куба. Пусть таковым станет узел Р, тогда отсекаемые отрезки будут 1, -1 и да, а индексы соответственно составят (1 10).

На рис.7 показаны также плоскости и их индексы, являющиеся гранями куба, - (100), (010) и (001).

Рис. 7. Индексы некоторых плоскостей в кубической решетке

Отметим, что, как и для направлений, параллельные плоскости являются неразличимыми и характеризуются одинаковыми символами. Поэтому запись (hkl) означает целое семейство параллельных плоскостей. Для обозначения совокупности эквивалентных плоскостей индексы заключаются в фигурные скобки - {hkl}.

Если сменить знаки индексов на противоположные, то положение самой плоскости в пространстве остается неизменным, меняется только сторона, с которой мы смотрим на эту плоскость.

В заключение отметим одну примечательную особенность, присущую кубической сингонии,- плоскость и нормаль к ней всегда имеют одинаковые символы. Например, плоскости (110) перпендикулярно направление [110], плоскости (111) - соответственно направление [111] и т.д.

Для гексагональной решетки вследствие характера ее симметрии оказывается удобным пользоваться четырехсимвольными индексами (их называют индексами Миллера-Браве). С этой целью вводится вспомогательная координатная ось u , которая лежит в горизонтальной плоскости и с осями x и y имеет одинаковые масштабные отрезки и составляет с ними угол 120^о .

Принцип нахождения символов плоскостей остается прежним - через обратные величины отрезков, отсекаемых искомой плоскостью на осях координат. Обозначение плоскости дается символами ( hkil ), где i - дополнительный индекс, при этом выполняется соотношение h + k + i = 0 или h + k = - i .

На рис.8 показаны некоторые плоскости и направления: базисная плоскость (0001), перпендикулярная координатной оси z ; призматическая плоскость (0110), а также направления вдоль координатных осей x, y, u типа <11 20>.

к ^z

Рис. 8. Индексы некоторых направлений и плоскостей в гексагональной решетке