1.CONURSE.docx

Рис. .	. Штрихованная система ' движется относительно системы со скоростью
вдоль оси .
Рас,отрим материальную точку с массой покоя . Ее координаты в инерциальной системе
отсчета	определяются как а скорость	||. Координаты той же точки в другой инерциальной

системе отсчета ' ( ', ', ', '), движущейся относительно вдоль оси с постоянной скоростью , связаны с координатами в системе преобразованиями Лоренца. В случае, если координатные оси систем и ' сонаправлены с вектором и в начальный момент времени ' начала координат обеих систем совпадали, то преобразования Лоренца даются выражениями:

– лоренц фактор.

Скорость частицы ' в системе ' связана со скоростью в системе соотношением:

Обратные преобразования Лоренца получаются взаимной заменой координат		' и учетом
изменения направления скорости	:

При малых скоростях преобразования Лоренца совпадают с выражениями для нерелятивистских преобразований Галилея:

Преобразования Лоренца

Преобразования Галилея

Относительность пространственных расстояний (Сокращение Лоренца Фитц,еральда):

Относительность промежутков времени между событиями (релятивистское замедление времени):

Относительность одновременности событий. Если в системе для событий , и	,	и ,
, то в системе '

В общем случае преобразования Лоренца записываются в терминах

векторов При относительном движении систем	и ', как на рис. . , вектор ,
преобразуется следующим образом:
Скалярное произведение двух векторов , и в	мерном пространстве времени определяется
как:

и является инвариантом, т.е. сохраняется во всех инерциальных системах отсчета.

Таким образом, квадрат вектора также является инвариантом. Например, квадрат вектора координаты

определяет "собственное" время частицы (т.е. время в ее системе отсчета). вектор скорости

вводится таким образом, чтобы ( )	. импульс, определяется как произведение массы на
скорость

Следовательно,

Преобразования Лоренца для импульса

Скалярное произведение импульсов является инвариантом по определению. Вместо

произведения импульсов двух частиц, например	, обычно используют квадрат
инвариантной массы двух частиц ( инвариант):

( . )

или квадрат переданного импульса ( инвариант)

. . Эффект Доплера
Если в системе (рис.	. ) в направлении оси испущен фотон энергии	, то его
энергия , длина волны	и частота в системе отсчета ' (наблюдатель удаляется от источника
света) составит

Параметр ,ещения в этом случае		, что соответствует красному ,ещению			. Если
скорость системы ' направлена в противоположную сторону (наблюдатель приближается к
источнику света), то знаки изменяются на противоположные:
( . )
В данном случае наблюдается синее ,ещение:			. Поскольку в общем случае преобразование
Лоренца записывается как	(	, (	)	, то, в отличие от классической
физики, в релятивистском случае наблюдается поперечный эффект Доплера:					.

Из формул, соответствующих синему ,ещению, можно получить классическую формулировку эффекта Доплера, используя разложение в ряд:

Тогда для относительного изменения частоты излучения:	, что соответствует
классической формулировке эффекта Доплера (без учета среды):

. . Системы отсчета

Рас,отрим двухчастичный процесс , х импульсы сталкивающихся частиц

соответственно.

При описании взаимодействий частиц и атомных ядер, как и в классической физике, обычно используются две системы отсчета: система покоя мишени и система центра инерции (рис. . ).

Рис. . . Определение некоторых систем отсчета
. Система покоя мишени – система, в которой частица (мишень) покоится,	,

. Обычно под лабораторной системой (ЛС) отсчета подразумевается система покоя мишени. В

данной системе инвариант:
( .	)
Энергия налетающей частицы, выраженная через инвариант:
( .	)
. Система центра инерции (СЦИ) – система, в которой		. Величины в СЦИ в дальнейшем
будут отмечаться звездочкой. В СЦИ . инвариант в СЦИ:
( .	)

В экспериментах физики высоких энергий часто используется система встречных пучков – система, в которой частицы равной массы и равных по абсолютной величине импульсов сталкиваются под углом π , . При система встречных пучков совпадает с СЦИ.

. . Основные формулы релятивистской физики

Универсальность законов сохранения приводит к необходимости установить для релятивистской кинематики такие уравнения, которые удовлетворяли бы к законам сохранения энергии и импульса и были инвариантны относительно преобразований Лоренца:

(	+	)	+ ,
– полная энергия частицы,			– масса частицы,

с– скорость света в вакууме,

–релятивистский импульс частицы,

– Лоренц фактор,

– скорость частицы,

–релятивистская кинетическая энергия частицы.

–релятивистское замедление времени,

–время жизни частицы в состоянии покоя,

– времени жизни частицы, движущейся со скоростью		.
	,
–	,

–полная энергия частицы или системы частиц,

–импульс частицы или суммарный импульс системы частиц.

Энергия налетающих частиц Е в ускорителе с неподвижной мишенью, эквивалентном коллайдеру с пучками частиц массы и энергии *:

Порог реакции. Если на неподвижной мишени под действием налетающих частиц , происходит реакция , + + +... и энергия реакции (изменение суммарной массы частиц) (, – , ,) , то минимальная кинетическая энергия частицы а, необходимая для осуществления такой реакции

. . Система единиц Гаусса

Время с

Энергия, масса

, (электрон Вольт)

. ·

,

Энергия покоя

электрона

протона

нейтрона

.

Длина

(ферми, фемтометр)

,

(ангстрем)

Скорость света в вакууме

Заряд электрона

. ·

Приведенная постоянная Планка

Константы

При решении задач будет использоваться система единиц Гаусса, в которой основными единицами являются сантиметр, грамм и секунда. В данной системе диэлектрическая и магнитная проницаемости являются безразмерными величинами, причём для вакуума они приняты равными единице. В качестве единицы измерения энергии используется внесистемная единица , (электрон Вольт) – энергия, приобретаемая электроном при прохождении потенциала в Вольт.

.	. Энергия и порог реакции
Частица массы , налетает на покоящуюся частицу массы				. В результате реакции в конечном
состоянии образуется		частиц с массами ' ,…	' Определить энергию и порог реакции.
Обозначим суммарную массу взаимодействующих частиц ,				,	(индекс	соответствует
начальному состоянию (		, )), суммарную массу образовавшихся частиц				' + ' +… '
,	, (индекс , обозначает конечное состояние (,		, )). Энергия реакции		соответствует

изменению суммарной массы частиц:

Пороговая энергия реакции – это дополнительная кинетическая энергия, необходимая для осуществления эндотермической реакции ( ). Данное значение энергии соответствует предельному случаю, когда продукты реакции образуются с нулевыми импульсами в СЦИ и инвариант в конечном состоянии равен квадрату суммы масс конечных продуктов: . В начальном состоянии в СЦИ . Следовательно, необходимая суммарная энергия сталкивающихся частиц должна быть .

Пороговая кинетическая энергия в СЦИ:

В лабораторной системе отсчета частица мишень покоится: |		|	,	.
Соответственно,	инвариант в лабораторной системе в начальном состоянии равен:

Приравнивая в начальном и конечном состояниях, получаем:

Раскладывая разность квадратов и выделяя , получим ( . ):

Значение пороговой энергии реакции в лабораторной системе всегда больше соответствующего значения в системе центра инерции. Их разность определяет ту часть энергии, которая идет на движение центра инерции в лабораторной системе.

. . Энергии частиц в двухчастичном распаде
Получим выражение для энергий и импульсов продуктов распада		, +	через массы частиц в
релятивистском случае в СЦИ.
СЦИ связана с распадающейся частицей С, ее энергия в данной системе С			С , продукты
распада разлетаются под углом	. Законы сохранения энергии и импульса:

Учитывая, что и подставляя выражение

через , во второе уравнение, получим:

Отсюда для частицы ,:

Выражения для частицы получаются перестановкой соответствующих индексов.

Полезно выписать выражения для энергий продуктов распада в некоторых частных случаях:

распад на частицы равной массы ,

.

образование безмассовой частицы ,				.
( .	)
нерелятивистский случай:
( .	)
Задачи
. . Альфа частица (		) с кинетической энергией				М, испытывает лобовое
столкновение с ядром золота (		я	). Рассчитать расстояние максимального сближения
частицы с ядром золота.
[Решение
. . Протон с кинетической энергией Т				М, налетает на неподвижное ядро			, . Определить
дифференциальное сечение рассеяния				σ Ω на угол		. Как изменится величина
дифференциального сечения рассеяния, если в качестве рассеивающего ядра выбрать , ?
[Решение
. . Частица массы , налетает на покоящуюся частицу массы						. В результате реакции в
конечном состоянии образуется			частиц с массами ' ,… '		. Определить энергию и порог
реакции.
Обозначим суммарную массу взаимодействующих частиц					,	(индекс	соответствует
начальному состоянию (		, )), суммарную массу образовавшихся частиц
(индекс , обозначает конечное состояние Энергия реакции					соответствует изменению
суммарной массы частиц:

Пороговая энергия реакции – это дополнительная кинетическая энергия, необходимая для осуществления эндотермической реакции ( ). Данное значение энергии соответствует предельному случаю, когда продукты реакции в СЦИ образуются с нулевыми импульсами и инвариант в конечном состоянии равен квадрату суммы масс конечных продуктов:

. В начальном состоянии в СЦИ	. Следовательно, необходимая суммарная энергия
сталкивающихся частиц должна быть	*, + *	,, ,	.

Пороговая кинетическая энергия в СЦИ:

В лабораторной системе отсчета частица мишень покоится: . Соответственно,	инвариант в
лабораторной системе в начальном состоянии равен:

.

Приравнивая в начальном и конечном состояниях, получаем:

Раскладывая разность квадратов и выделяя , получим

Значение пороговой энергии реакции в лабораторной системе всегда больше соответствующего значения в системе центра инерции. Их разность определяет ту часть энергии, которая идет на движение центра инерции в лабораторной системе.

. . Получим выражение для энергий и импульсов продуктов распада		, +	через массы
частиц в релятивистском случае в СЦИ.
СЦИ связана с распадающейся частицей С, ее энергия в данной системе		С	С , продукты
распада разлетаются под углом	. Законы сохранения энергии и импульса:

Учитывая, что и подставляя выражение

через , во второе уравнение, получим:

Отсюда для частицы ,:

Выражения для частицы получаются перестановкой соответствующих индексов.

Полезно выписать выражения для энергий продуктов распада в некоторых частных случаях:

распад на частицы равной массы	,	.
образование безмассовой частицы	,	.
нерелятивистский случай:

. . Рассчитать кинетические энергии

частицы и ядра

, образующихся при распаде

,

+ .

. .

Рассчитать дифференциальное сечение рассеяния

частицы с кинетической энергией

М,

) на ядре кальция

, на угол

,

) на ядре меди

на угол

,

) на ядре молибдена

на угол

,

) на ядре серебра

,g на угол

.

Ответ:

) .

барн стер,

) .

б

стер, ) .

б стер,

)

. б стер

. .

Рассчитать отношение сечений рассеяния

частиц с кинетической энергиями

М, на

ядре

,

под углами

и

.

Ответ:

. ·

. .

Рассчитать расстояния максимального сближения

) частицы с кинетической энергией

М, с ядром

,

и

,

) частицы с кинетической энергией

М, с ядром

,,

) протона с кинетической энергией

М, с ядром

, ,