1.CONURSE.docx

В квантовой физике изменяется понятие состояния. Наличие у квантовой частицы волновых свойств показывает, что ей следует сопоставить некоторое волновое поле. Амплитуду этого

волнового поля, зависящую от координат и времени, называют волновой функцией		( , , , ).
Волновая функция не является непосредственно наблюдаемой величиной. Наблюдаемой
величиной является квадрат модуля волновой функции. В заданном состоянии с волновой
функцией	( , , , ) можно говорить только о вероятностном распределении значений
наблюдаемых. Например, вероятность нахождения частицы в данной точке , ,		в момент
времени	определяется квадратом модуля волновой функции

В силу теории сложения вероятностей определение волновой функции необходимо дополнить условием нормировки

где интеграл, взятый по всему бесконечному пространству, , вероятность достоверно обнаружить частицу в момент времени во всем пространстве. Возникает своеобразное двухступенчатое описание физических объектов: сначала нужно найти волновую функцию, а затем, уже по ней, определить значения наблюдаемых. В квантовой теории не все наблюдаемые одновременно могут иметь точно определенные значения. Например, квантовая частица не может иметь одновременно определенные значения импульса и координаты.

. . Уравнение движения свободной частицы

Волновая функция свободно движущейся частицы с энергией и импульсом имеет вид

Константа , определяется из условия нормировки волновой функции

.

В тех случаях, когда частица находится в области пространства, где действующие на нее силы равны нулю (свободное движение), энергия частицы может принимать любые значения. Энергетический спектр свободно движущейся частицы непрерывный.

Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет волновая функция свободно движущейся частицы, можно установить, дифференцируя волновую функцию ( , ) по и по переменным , , :

Для свободной частицы

Из соотношений с учетом следует дифференциальное уравнение для волновой функции свободно движущейся частицы

Обычно записывается в виде

где	, оператор Лапласа. Уравнение ( .			) в частных производных называется уравнением
движения для свободной частицы. В уравнение движения ( .						) входит только такая
характеристика как масса частицы и постоянная Планка					. Уравнение ( . ) является
дифференциальным уравнением первого порядка по времени. Поэтому для определения
волновой функции в произвольный момент времени					достаточно знать значение волновую
функцию в начальный момент времени.
.	. Физические величины и операторы
В квантовой механике постулируется, что каждой физической величине, описываемой в
классической механике в виде функции ,(				, , , , ,	) координат и импульсов ставится в
соответствие линейный оператор			,(,,,	,	,	) действующий на волновую
функцию ( , , ,		). Под оператором		, понимается правило, по которому одной функции (
, ,	, ) переменны	, , , сопоставляется другая функция χ(				, , , ) тех же переменных.

Например, оператор , может означать дифференцирование по какой либо переменной:

Оператор координаты равен самой координате , т. е. сводится к умножению на эту переменную: .

Операторами проекций импульсов являются операторы

Для того, чтобы понять почему оператор импульса имеет вид ( . ), воспользуемся тем, что движение свободной частицы описывается уравнением

Оператор кинетической энергии	должен иметь вид	( ), где	,
оператор импульса. Уравнение ( .	) можно записать в виде

поэтому операторы

выбирают в виде

Остальные операторы могут быть построены с использованием операторов координаты и импульса согласно простому правилу: в квантовой механике операторы физических величин выражаются друг через друга так же, как сами физические величины в классической физике.

Оператор кинетической энергии

:

Оператор Гамильтона (гамильтониан) , оператор полной энергии

H:

Если частица движется в потенциальном поле , то оператор Гамильтона

H имеет вид

Оператор момента количества движения
Согласно классической механике момент импульса	. В соответствии с общим
правилом определяются операторы проекции момента импульса:

Оператор квадрата момента количества движения

:

( . )

Гамильтониан

Общий вид:

Свободная частица:

Частица в одномерной потенциальной яме

Гармонический осциллятор:

Атом водорода:

Атом гелия:

. . Собственные значения и собственные функции операторов

С каждым оператором , в квантовой механике связывается уравнение

определяющее его собственные значения , и полную систему ортонормированных функций , подчиняющихся определенным граничным условиям. Величины , определяют спектр возможных значений физической величины ,. Функция ( ) характеризует состояние системы, в котором величина , имеет значение , . Одно из важнейших положений квантовой теории: в квантовых системах выполняется принцип суперпозиции. Если квантовая система может

находиться в состояниях, описываемых функ­циями , , …, , то линейная комбинация (суперпозиция) волновых функций , , …,

также является волновой функцией, описывающей одно из возможных состояний системы,	–
произвольные постоянные.

Квантовая механика является принципиально статистической теорией. Её предсказания носят вероятностный характер. Можно с любой точностью предсказать вероятность найти электрон в произвольной части атома водорода, но нельзя предсказать, в какие моменты времени он попадает в эту часть атома.

Различие между классической статистической теорией и квантовой механикой состоит в следующем. В классической статистической теории предполагается, что в принципе можно проследить за судьбой, например, всех молекул газа и точно рассчитать их траектории. Но, так как молекул много, то для расчета макроскопических величин нам достаточно знать не все точные величины, описывающие каждую молекулу, а небольшое количество усредненных характеристик системы. Например, для описания газа, заключенного в сосуде, вводят такие усредненные характеристики как давление и температура. Для отдельной молекулы газа совершенно бес,ысленно говорить о её температуре. В противоположность этому в квантовом мире статистические свойства не вторичны, а первичны. Статистический характер процессов в микромире проявляется в том, что результат измерений в микромире имеет статистическую природу.

Среднее значение , физической величины А в состоянии определяется из соотношения

где	. В частности, средние значения координаты	и импульса
получаются из соотношений

,( . )

Средние значения	и	имеют следующий ,ысл. Если многократно измерять
координату	в одном и том же состоянии , то среднее от этих измерений будет
стремиться к	. Аналогично, многократное измерение		в этом же состоянии будет
давать величину, приближающуюся к		.
Уравнения для собственных функций и собственных значений операторов				,	,
имеют вид

( . )

Решением уравнений будут волновые функции

– произвольные функции соответствующих координат

Оператор импульса имеет сплошной спектр собственных значений. Волновая функция

( . )
является собственной функцией операторов		,	,	и описывает состояния с
заданным импульсом	.

Постоянная , находится из условия нормировки волновой функции:

, (	)	.
Волновая функция			с учетом нормировки имеет вид.
	( .	)
. .	Коммутация операторов

Одним из важных вопросов в квантовой физике является вопрос о том, какие физические величины могут одновременно иметь определённые значения. Для того чтобы две величины , и могли бы иметь определенные значения в некотором состоянии, описываемом волновой функцией , эта волновая функция, очевидно, должна быть собственной функцией операторов

, и	, т. е. должны одновременно удовлетворяться два уравнения
Это имеет место только в том случае, когда операторы		, и	коммутируют, т. е.
коммутатор данных операторов равен :

Таким образом, если квантовомеханические операторы, соответствующие двум квантовомеханическим величинам, коммутируют, то эти величины могут быть измерены одновременно. Если же операторы не коммутируют, то это величины одновременно не могут иметь определенных значений. Операторы координат и проекции импульса на различные оси коммутируют между собой. Например,

т. е. величины и	одновременно измеримы.
В то же время операторы и		не коммутируют:

,

.

Поэтому соответствующие им величины и	не имеют одновременно определенных
значений.
Проекции момента количества движения	, ,	одновременно не могут иметь

определенные значения. Исключением является состояние, когда момент количества движения , при этом

		. В то же время операторы проекции момента количества движения			,
, и	коммутируют с оператором квадрата момента количества движения				:
	,	,	,	,	,
,

т. е. квадрат полного момента количества движения и одна из его проекций на произвольную ось могут одновременно иметь определенные значения.

. . Статистики Ферми Дирака и Бозе Эйнштейна

Микрочастицы обладают своеобразной характеристикой, называемой статистикой. Статистика является проявлением коллективных свойств системы частиц. Существование статистики является следствием принципа неразличимости одинаковых микрочастиц и вероятностного характера описания состояний в квантовой теории.

Рас,отрим волновую функцию системы частиц одного сорта, например, системы электронов или протонов. В таких системах проявляются новые особенности, которые не имеют аналогов в системе классических одинаковых частиц. В микромире частицы одного типа неразличимы, т. е. имеет место принцип тождественности частиц. Перестановка двух одинаковых частиц не изменяет состояния системы.

Принцип тождественности частиц

Гамильтониан системы частиц инвариантен относительно перестановки всех координат двух любых частиц одного типа.

Поэтому должна быть квантовая характеристика (квантовое число) и сохраняющаяся физическая величина, отвечающая этому преобразованию.

Оператор перестановки (например, частиц и в системе А тождественных частиц)	и его
собственные значения определяются следующим образом:

волновая функция системы частиц симметрична:

волновая функция системы частиц антисимметрична:

В релятивистской квантовой теории поля доказывается, что статистика однозначно определяется спином частицы. Частицы с целым (в том числе с нулевым) спином называются бозонами и подчиняются статистике Бозе Эйнштейна ( кванты, π мезоны, частицы и др.). Частицы с полуцелым спином называются фермионами и подчиняются статистике Ферми Дирака (электроны, кварки, нейтрино, протоны, нейтроны, ядра с нечётным числом нуклонов и т.д.).

Фермионы Бозоны

электрон, мюон, нейтрино, протон, нейтрон и др. фотон, π мезоны, K мезоны и др

Вероятность ƒ( ) обнаружить частицу в состоянии с энергией при температуре среды

Распределение Больцмана

Распределение Бозе Эйнштейна

Распределение Ферми Дирака

Величина

представляет собой постоянную нормировки, зависящую от плотности частиц

. . Принцип Паули для тождественных фермионов.

Для системы тождественных фермионов

Пусть частицы и находятся в одинаковом состоянии. Тогда одна и та же функция и . такого состояния нет. Таким образом, в системах, подчиняющихся статистике Ферми Дирака и описываемых антисимметричными волновыми функциями, не должно существовать двух тождественных частиц с полностью совпадающими характеристиками. Поясним различие между тремя статистиками – классической, статистикой Ферми Дирака и статистикой Бозе Эйнштейна – на простейшем случае, когда имеются две одинаковых частицы и два различных одночастичных состояния. Число возможных состояний такой физической системы будет разным для разных статистик.

В классической статистике возможны четыре состояния:

обе частицы в первом состоянии;

обе частицы во втором состоянии;

первая частица в первом состоянии, вторая – во втором;

первая частица во втором состоянии, вторая – в первом.

В статистике Ферми возможно только одно состояние:

одна из частиц (какая именно, здесь и ниже не имеет значения) находится в первом состоянии, другая – во втором.

В статистике Бозе Эйнштейна возможны три состояния:

обе частицы в первом состоянии;

обе частицы во втором состоянии;

одна из частиц в первом состоянии, другая – во втором.

Структура электронных оболочек в атоме и нуклонных оболочек в ядре объясняется на основе принципа Паули. В атоме два электрона не могут находиться в одинаковом состоянии. Точно так же и в ядре два одинаковых нуклона не могут находиться в одном и том же состоянии. Принципу Паули подчиняются только фермионы.

. . Вычислите длину волны спектральной линии, которая соответствует переходу между состояниями и , в атоме водорода.

. . У водородоподобного иона разница длин волн первых линий серий Лаймана и Бальмера составляет . нм. Какому атому это соответствует?

. . Минимальная длина волны излучения рентгеновской тру и на

кВ составляет .

.

Определите значение постоянной Планка.

. . Вычислить разность энергий связи Kи электронов в атоме алюминия , .

. . Вычислить коммутатор [

,

,

.

. . Какую максимальную энергию может иметь фотон, испущенный атомом водорода?

. . Определить длину волны первых трех линий серий Бальмера, Лаймана, Пашена в атоме водорода.

.	. Какому переходу соответствует длина волны линии Бальмера		в атоме
водорода?
Ответ: Переход
.	. Какие спектральные линии появятся при возбуждении атомарного водорода электронами в
.	В? Какие линии появятся при энергии электронов в	В?

Мюон образовал мезоатом водорода. Вычислите радиус первой боровской орбиты моюнного атома и сравните с результатом для атома водорода. Каковы длины волн первых трех линий серии Лаймана мезоатома?

Позитроний представляет собой связанную систему электрона и позитрона, вращающихся вокруг центра масс этой системы. Определить боровский радиус и энергетический спектр позитрония. Каковы длины волн первых трех линий серии Лаймана позитрония?

Энергия связи электрона в атоме гелия H	равна	. ,. Какая минимальная энергия
необходима для последовательного удаления обоих электронов из этого атома?
Покажите, что скорость электрона на	Боровской орбите в атоме водорода равна
, где – постоянная тонкой структуры.