1.CONURSE.docx

Число значений проекции J	равно
значения проекций на ось	и

. Если для	и	определены единственные
, то j также определена однозначно: j			+ .

. . Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

	Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию
системы.		, , …, .
J, j	Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает

отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рас,атриваемой

системы.

J

j(j +

).

,

Орбитальный угловой момент

и его квантовое число

. Интерпретация

такая же, как j,

но

может принимать только целые значения, включая нуль:

,

,

,….

( + ).

Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на

выделенную ось (обычно ось

) равна

. Для полного момента

j,

(j ), …,

или .

Для орбитального

,

(

), …,

, .

,

Спиновый угловой момент

и его квантовое число

. Оно может быть либо

положительным целым (включая нуль), либо полуцелым.

– неизменная характеристика частицы

опреде­лен­ного типа.

(

+

).

Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция

может принимать значения

, где

, (

), …,

или .

или π

Пространственная четность. Характеризует поведение системы при

пространственной инверсии

(зеркальном отражении). Полная четность

частицы Р π(

)

, где π – её внутренняя четность, а (

)

– её орбитальная четность.

Внутренние четности кварков положительные, антикварков

отрицательные.

Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с

помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

Радиальное квантовое число

Орбитальное квантовое число

Проекция орбитального момента

Спин протона

.

Для описания сферически симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

Кулоновский потенциал	,
Прямоугольная потенциальная яма
Потенциал типа гармонического осциллятора		k ,

Потенциал Вудса Саксона (с его помощью описываются внутриядерные взаимодействия):

где , а и – положительные константы ( – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел , , j, j , однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.

Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает

центральной симметрией	( ), то этой системе соответствует сохранение орбитального
момента количества движения	и одной из его проекций . При этом из за сферической

симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины , т. е. состояния будут вырожденными по .

Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат ( ). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два

значения + и в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.

Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются

симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) , антисимметричными волновыми функциями.

Задачи

. . Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находящегося в одномерной

прямоугольной потенциальной яме шириной		,, протона, находящегося в потенциальной
яме	, и шарика массой г, находящегося в потенциальной яме ,.

[Решение

. . Рассчитать энергию перехода между состояниями

и

в атоме водорода.

[Решение

. . Найти значение полного момента j для протона в	состоянии. Каким будет результат
измерения полного момента протона в состоянии	?

[Решение

. . Найти полный момент (квантовое число j) системы двух нуклонов в состоянии (

).

[Решение

. . Какие значения может иметь полный момент системы j, если

Нейтрон и протон находятся в состояниях

Два нейтрона находятся в состояниях

Нейтрон находится в состоянии. Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента j . Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии? Б) Рас,отрите задачу А) для протона в состоянии.

Частица с собственным моментом		находится в состоянии с орбитальным моментом
. Найти полный момент частицы j.
Частица с собственным моментом		находится в состоянии с орбитальным моментом
. Определите полный момент частицы j
. . Протон и нейтрон находятся в состоянии с относительным орбитальным моментом			.
Найти полный момент системы J.
На оболочке с квантовым числом	,	находятся протон и нейтрон. Определить их
суммарный полный момент J и его проекцию J . Изменится ли результат, если на оболочке			,

будут находиться два нейтрона?

Почему возникают вырожденные состояния?

Написать оператор Гамильтона

H электронов в атоме H .

Напишите стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат.

Какие квантовые числа характеризуют частицу в центрально симметричной потенциальной яме?

Покажите, что волновые функции	не удовлетворяют зависящему от времени уравнению
Шредингера.
Покажите, что волновые функции		)удовлетворяют зависящему от времени уравнению
Шредингера.
Частица находится в низшем состоянии		в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной
потенциальной яме размера .

А) Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале

.

при

,

,.

Б) Рас,отрите случай, когда частица находится в состоянии		при тех же значениях .
. Частица находится в состоянии	в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной
потенциальной яме размера . Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале (			,
).

Электрон находится всостонии	в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной
потенциальной яме размера	. Рассчитайте вероятность обнаружить электрон в области от .
до . .

Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Рассчитайте ширину

потенциальной ямы, если энергия состояния		равна	. ,.
Рассчитайте средние значения	и	для состояний	, , в бесконечно глубокой
прямоугольной потенциальной яме.

Что общего и в чем различие в описании атома водорода в теории Шредингера и в модели Бора?

Почему энергии атома водорода в теории Шредингера не зависят от орбитального квантового числа ?

Угловой момент характеризуется квантовым числом	. Какие значения могут принимать
Угловой момент характеризуется квантовым числом	. Какие значения могут принимать

На головную страницу

Семинар . Фундаментальные взаимодействия. Лептоны

С момента открытия электрона прошло более ста лет. До настоящего времени в нашем представлении электрон остается точечной частицей без внутренней структуры, одним из элементарных кирпичиков Вселенной. Открытые вслед за электроном протон и нейтрон обнаружили впоследствии сложную структуру. Вопросы об элементарных составляющих нашего мира, об их взаимодействии, о строгом математическом описании элементарных частиц привели к созданию «Стандартной модели фундаментальных частиц и взаимодействий» – выдающегося результата развития теоретической физики второй половины века. Эта наиболее полная из когда либо созданных физических теорий на данный момент подтверждена с высочайшей точностью многочисленными экспериментами и позволяет описать широкий круг явлений от ко,ических масштабов до расстояний порядка – ,.

Стандартная модель представляет собой теорию элементарных составляющих материи, фундаментальных фермионов, и фундаментальных взаимодействий (исключая гравитацию). Переносчиками этих взаимодействий являются фундаментальные калибровочные бозоны. Для расчетов и качественного обсуждения явлений особенно удобна техника диаграмм Фейнмана.

. . Фундаментальные взаимодействия

. . Диаграммы Фейнмана

. . Калибровочные бозоны

. . Лептоны

Задачи

. . Фундаментальные взаимодействия

Фундаментальными частицами Стандартной Модели являются лептоны, кварки и калибровочные бозоны. Кварки и лептоны, частицы с полуцелым спином, образуют вещество. Всего известно шесть лептонов, формирующих три поколения:

Лептон	асса	, М, Время жизни, с		Электрический заряд
Электронное нейтрино			· –
Электрон	.

Мюонное нейтрино

Мюон .

Тау нейтрино

Тау лептон

Шесть кварков также сгруппированы в три поколения:

Кварк

асса

, М, Электрический заряд

Верхний (

Нижний (

Очарованный

Странный (

Топ кварк

Ботом кварк (

Из кварков состоят адроны (частицы, принимающие участие в сильном взаимодействии), подразделяющиеся на барионы (адроны с полуцелым спином) и мезоны (адроны с целым спином). Протон и нейтрон относятся к классу барионов.

Каждому фермиону соответствует его античастица, имеющая ту же массу и спин, но противоположный знак заряда и магнитного момента.

В природе известно четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. В масштабах физики элементарных частиц вклад гравитации несущественен и данное взаимодействие не входит в теоретическую схему Стандартной Модели. Основные свойства фундаментальных сил приведены в таблице:

Взаимодействие		Взаимодействующие фермионы			Квант поля (калибровочный бозон)
Спин
Сильное	Кварки		глюонов g
Электромагнитное		Имеющие электрический заряд			Фотон
Слабое Кварки, лептоны			Бозоны	,
Гравитационное		Все частицы		«Гравитон»

Переносчики фундаментальных взаимодействий, калибровочные бозоны, составляют еще один класс фундаментальных частиц Стандартной Модели.

Квантом электромагнитного поля является фотон, квант, обладающий нулевой массой. Посредством обмена фотоном взаимодействуют все частицы, обладающие такой характеристикой, как электрический заряд: кварки, заряженные лептоны и бозоны. Для описания электромагнитного взаимодействия существует наиболее разработанный вариант релятивисткой теории поля – квантовая электродинамика (КЭД), обеспечивающая феноменальную точность теоретических предсказаний.

В слабом взаимодействии принимают участие частицы, обладающие так называемым слабым зарядом – это кварки и лептоны. Переносчиками взаимодействия являются массивные

калибровочные бозоны и . Крупнейшим достижением теоретической физики века стало построение теории электрослабого взаимодействия кварков и лептонов, объединяющей электромагнитное и слабое взаимодействия и включающей в себя КЭД.

Участвующие в сильном взаимодействии частицы должны обладать квантовой характеристикой

– цветовым зарядом, носителями которого являются кварки. Также цветом обладают переносчики сильного взаимодействия – восемь безмассовых частиц глюонов g. Для описания сильного взаимо­действия на фундаментальном уровне построена теория, называемая квантовой хромодинамикой (КХД). Между составными системами, барионами, не обладающими цветом в явном виде, действует остаточное сильное взаимодействие, примером которого являются ядерные силы между нуклонами. Переносчиками этих сил являются мезоны.

Бозон Хиггса – массивный квант поля Хиггса, ответственного за возникновение масс

фундаментальных частиц. Открыт в	году в экспериментах на Большом адроном коллайдере
(ЦЕРН, Женева). Бозон Хиггса имеет спин J	и массу	Г,.

. . Диаграммы Фейнмана

Фундаментальное взаимодействие сводится к точечному испусканию и поглощению одного калибровочного бозона фермионом. Стандартная Модель позволяет рассчитать результат этого взаимодействия с помощью специальной техники, которая носит название диаграмм Фейнмана.

Диаграммы Фейнмана – универсальный графический способ изображения развития во времени превращения элементарных частиц в терминах элементарных актов взаимодействия, дополненный алгоритмом расчёта вероятности этих процессов.

В Стандартной Модели все фундаментальные фермионы обладают способностью испускать или поглощать в одном акте только один из носителей взаимодействия. В соответствие с тем, какой именно калибровочный бозон испускает и поглощает фундаментальный фермион, говорят о сильном, слабом и электромагнитном взаимодействиях. Чтобы изобразить эти процессы на диаграммах, вводят вершину, в которой происходит элементарный акт взаимодействия (рис. . ).

Рис. . . Фундаментальная вершина, описывающая локальное взаимодействие в квантовой теории (элементарный узел диаграммы Фейнмана).

В дальнейшем будем предполагать, что ось времени на диаграммах направлена слева направо. Таким образом, слева находятся все частицы, существовавшие в начале процесса, справа – конечный набор частиц. Фермионы обозначаются сплошной линией со стрелкой, направление которой обозначает частицу или античастицу. Фермионная линия (ток) должна быть непрерывна.

Бозонные линии обозначаются в соответствии с типом переносимого взаимодействия. Примеры элементарных вершин для трех взаимодействий приведены в таблице:

Взаимодействие		Заряд Кварки Лептоны
Сильное	Цветовой заряд
Электромагнитное		Электрический заряд

Слабое Слабый заряд обеспечивает переходы с изменением аромата Нейтральный бозон не может изменить аромат частицы

Точки испускания или поглощения бозонов соответствуют вершинам взаимодействия. Если линия, соответствующая частице, заключена между двумя вершинами, то речь идет о виртуальной частице, которая выполняет роль переносчика взаимодействия. В этом случае в вершине

выполняются все законы сохранения для соответствующего взаимодействия, кроме закона
сохранения энергии. Если образование виртуальной частицы нарушает баланс энергии на
величину Е, то время, в течение которого допустимо данное нарушение, определяется
соотношением неопределенности:	. В момент поглощения виртуальной частицы баланс
энергии восстанавливается. Для виртуальной частицы не выполняется соотношение		+
.

Если же один конец линии свободен, то речь идет о реальной частице, для которой должны выполняться все законы сохранения.

Константы связи. Силу взаимодействия в теории поля характеризует соответствующая константа связи, соответствующая вероятности испускания или поглощения кванта этого поля. Значения данных констант зависят от масштаба расстояний, на которых происходит взаимодействие (или, что одно и то же – от масштаба энергий процесса).

Энергия, Г, Константа взаимодействия

Сильного

Электромагнитного

Слабого

Рис. . . Диаграмма взаимодействия двух фермионов

Для частиц со спином J амплитуду процесса, показанного на рис. . , можно представить в виде:

,·[пропагатор .

Пропагатор	, где	,	, квадрат	импульса виртуальной частицы массы
.

Вероятность процесса пропорциональна квадрату модуля амплитуды , и определяется несколькими факторами. В первую очередь, это величина константы взаимодействия, так как

каждая вершина дает вклад	. Во вторых, это степень виртуальности частицы переносчика, то
есть степень нарушения соотношения		+	. Существенную роль играет также

энергия реакции и чем реакция энергетически выгоднее, тем выше ее вероятность.

. . Калибровочные бозоны

Слабое взаимодействие

бозоны

Электрический заряд

Спин

Масса

Полная ширина

Каналы распада + (распад

происходит по зарядово сопряженным каналам)

адроны

бозон

Электрический заряд

Спин

Масса

Полная ширина

Каналы распада

адроны

Электромагнитное взаимодействие

Фотон

Электрический заряд

Спин

Масса

Время жизни

Стабилен