Методы моделирования объектов автоматического управления

ный центр масс ОАУ (см. рис. 3.6):

щений центр мас ОАК (див. рис. 3.6):

y = yцм′

где

yцм′ = 0, xцм′ = a′sin(ϕ1)− b 2

− K

де

1−

1	(
	x −
CD

a′	b
b
	a′

xцм′

2

−

),

1− cos ϕ1 2

(3.11)

– координаты смещенного центра масс.	– координати зміщеного центра мас.
Решая совместно (3.10), (3.11),	Розв’язуючи разом	(3.10), (3.11),
определяем координаты проекции сме-	визначаємо координати	проекції змі-
щенного центра масс на прямую, про-	щеного центра мас на пряму, що про-
ходящую через точки C и D:	ходить через точки C і D:

xцм′′ =	K		CD
		2		+1
	K
		CD
				yцм′′

y	цм′		− y		C
= y		C		+ K

	+	1
		K
		CD

	(
CD	x	цм

x

′′

цм′ − x

+

C

K	CD	x	C
).

 

;

(3.12)

(3.13)

Из выражений (3.11)–(3.13) опре-	З виразів (3.11)–(3.13) визначаємо
деляем смещение центра масс ОАУ:	зміщення центра мас ОАК:

ξ =	y	цм′	− y	цм′′	2	+	x	цм′	− x	цм′′

2

.

(3.14)

Кинетическая энергия сервоприво-				Кінетична енергія сервоприводу
да
	пр		2
T =	Jсп			1	,	(3.15)
5	2
где Jсппр – приведенный момент инерции	де Jсппр – зведений момент інерції сер-
сервопривода, включающий в себя мо-	воприводу, що містить момент інерції
мент инерции электродвигателя и при-	електродвигуна й зведений до нього
веденный к нему момент инерции ре-	момент інерції редуктора.
дуктора.
Полная кинетическая энергия рас-				Повна кінетична енергія ОАК, що
сматриваемого ОАУ	розглядається,

T = mкp x2 + Jкp

2 2

ϕ	2	+	Jзмz	2	+	Jпм	2	2	2	пр	2	.	(3.16)
				ϕ
	5		2	1		2	3				1

Найдем компоненты уравнения (3.1), для чего определим производные кинетической энергии:

Знайдемо компоненти рівняння (3.1), для чого визначимо похідні кінетичної енергії:

121

dt

∂T

∂ϕ1

∂T

= (

зм

пм

пр

1 ;

∂ϕ

(ϕ1)+ Jz

+ Jz

+ Jсп )

1

∂T

= 1 f2 (ϕ1) 2 m АУ

2 ;

∂ϕ

2

1

=

ϕ

+ J

зм

+ J

пм

+ J

пр

(

(

z

z

сп )

2

(

1)

1)

1

,

(3.17)

(3.18)

(3.19)

где

						2
	(	ϕ	)	=	a			кр			(	ϕ	)	−
f							m			cos
1		1			4							1

де

sin

ba

(

 

ϕ1)

2 −

(1

1

− −

cos

cos

(

ϕ1

ϕ1

)

)

2



 



2

+

f

(cos

−

+2J

кp				sin	2	(ϕ	)
						1					;
+Jz	b		2							))
								(			2
				− 1− cos					ϕ
				(					1
	a

)

2

sin(

ϕ

) 1− cos

(

ϕ

)

a

кр

(ϕ )=

m

cos(ϕ

)

−

1

(

1

−sin(ϕ

)−

2

1

2

1

2

1

b

2

− 1− cos ϕ

1

a

b

2

(ϕ1) − cos(2ϕ1))

− (1− cos(ϕ1))2

+ sin2

(ϕ1)(1− cos(

ϕ1))2

a

+

3

b

2

2

− (1− cos(ϕ1))

2

a

b

2

(1− cos(ϕ1))2

(ϕ1)(1− cos(ϕ1))

cos(ϕ1)

−

+ sin2

кр

a

sin(ϕ1);

z

b

2

(1− cos(ϕ1))

2

2

−

a

f

(ϕ

)= ξ

∂ξ

.

4

1

∂ϕ1

122

Запишем выражение для обобщен-	Запишемо вираз для узагальненої
ной силы Qϕ . Для этого найдем сумму	сили Qϕ . Для цього знайдемо суму
1	1
элементарных работ:	елементарних робіт:

4 ∑δAi i=1

= M	кр	δϕ	2

− M δϕ − M δϕ			2
c2	1	c4

−

M δϕ
c3	1

,

(3.20)

где	Mкр	– крутящий момент на валу
сервопривода;
	Mc2	– момент сопротивления в пя-
те задней опорной конечности;
	Mc3	– момент сопротивления шар-
нира;
	Mc4	– момент сопротивления в пя-
те передней опорной конечности.
	Обобщенную силу найдем, разде-
лив	выражение суммарной работы

(3.20) на вариацию δϕ1

:

де	Mкр	– крутильний момент на валу
сервоприводу;
	Mc2	– момент опору в п’яті задньої
опорної кінцівки;
	Mc3	– момент опору шарніра;
	Mc4	– момент опору в п’яті перед-

ньої опорної кінцівки.

Узагальнену силу знайдемо, поді-

ливши вираз сумарної роботи (3.20) на варіацію δϕ1:

4

∑δAi

Qϕ1 = i=δϕ1 1

где

f	3	(	ϕ	)	=1	−
			1

= Mкрf3 (ϕ1)− Mc2 − Mc3 − Mc4f3 (ϕ1), (3.21)

			де
			sin(ϕ )
				1		.
			2
	b					2
			− 1	− cos	ϕ
					1
	a

С учетом (3.17)–(3.21) уравнение	З урахуванням (3.17)–(3.21) рів-
Лагранжа (3.1) запишем в таком виде:	няння Лагранжа (3.1) запишемо в тако-
	му вигляді:

		A(ϕ1)		2 ( 1)	2		2
			1		1	2 1 1	4 1 ψ
		= Mкрf3 (ϕ1)− Mc2 − Mc3 − Mc4f3 (ϕ1),								(3.22)
где A(ϕ )= f (ϕ )+ Jзм + Jпм + Jпр .						де A(ϕ )= f (ϕ )+ Jзм + Jпм + Jпр .
1	1 1	z	z	сп		1	1 1	z	z	сп

Далее найдем компоненты уравне-

Далі знайдемо компоненти рівнян-

123

ния (3.2), для чего также определим	ня (3.2), для чого також визначимо по-
производные кинетической энергии по	хідні кінетичної енергії за змінними	ψ
переменным ψ и :	і :

∂T		= m	2
				Ro	;
∂ψ
∂T		= 0	;
∂ψ

	d ∂T		= m	R	2
		∂ψ			o
	dt

4

1

1

ψ

.

(3.23)

(3.24)

(3.25)

Запишем выражение для обобщен-	Запишемо вирази для узагальненої
ной силы Qψ . Для этого найдем сумму	сили Qψ . Для цього знайдемо суму
элементарных работ активных сил:	елементарних робіт активних сил:

2 ∑

i=1

δA

ψi

=

Pдв

H

цм

δψ

+

P	ξδψ
ОАУ

,

(3.26)

где Pдв – движущая сила, вызванная

крутящим моментом и приложенная к центру масс ОАУ;

PОАУ = mОАУg – сила тяжести. Обобщенную силу найдем, разде-

лив выражение суммарной работы (3.26) на вариацию δψ :

де Pдв – рушійна сила, спричинена кру-

тильним моментом і прикладена до центра мас ОАК;

PОАУ = mОАУg – сила тяжіння. Узагальнену силу знайдемо, поді-

ливши вираз сумарної роботи (3.26) на варіацію δψ :

2

∑δAψi

Q

ψ

=

i=1

= P

H

цм

+ P ξ .

(3.27)

δψ

дв

ОАУ

Движущая сила может быть опре-

Рушійна сила може бути визначена

делена из геометрических соображе-

із геометричних міркувань:

ний:

P

=

2

cos(ϕ

− ϕ )M

,

(3.28)

дв

a

2

1

кр

где

де

ϕ2 = π + ϕ1 − arcsin

a

(1− cos(ϕ1)) .

2

b

С учетом (3.23)–(3.28) уравнение

З урахуванням (3.23)–(3.28) рів-

Лагранжа (3.2) запишем в таком виде:

няння Лагранжа (3.2) запишемо в тако-

124

где

f5

(

ϕ1

)

=

mОАУ

R

f
5
2	;
o

(

ϕ1

)

2f

му вигляді:

f		)Mкр + PОАУξ		(ϕ1),
де f5	2		;
	(ϕ1)= mОАУRo

(3.29)

f6 (ϕ1)=	2H	цм	π		− arcsin	a	(1− cos(ϕ1))
			cos					.
	a			2
					b

Выражения (3.22), (3.29) не позволяют определить траекторию центра масс ОАУ. Для этого необходимо получить выражения для абсолютной скорости.

Скорость центра масс может быть представлена в виде векторной суммы скоростей переносного движения несущей балки в плоскости OXY и относительного движения ОАУ как твердого тела вокруг оси, проходящей через две опорные точки при опрокидывании (см. рис. 3.6):

Вирази (3.22), (3.29) не дають змоги визначити траєкторію центра мас ОАК. Для цього необхідно отримати вирази для абсолютної швидкості.

Швидкість центра мас може бути подана у вигляді векторної суми швидкостей переносного руху несної балки в площині OXY і відносного руху ОАК як твердого тіла навколо осі, що проходить через дві опорні точки при перекиданні (див. рис. 3.6):

vцм

= ve цм

+

vцмr

,

(3.30)

где	vцм		– вектор абсолютной скорости
центра масс ОАУ;
		цмe	– вектор переносной скорости;
	v
		цмr	– вектор относительной скоро-
	v

сти.

В силу симметричности механической части ОАУ переносная скорость центра масс направлена вдоль оси Х и определяется выражением (3.4). Относительное движение является вращательным с угловой скоростью и радиусом Ro (см. рис. 3.6, б):

де	vцм		– вектор абсолютної швидкості
центра мас ОАК;
		цмe	– вектор переносної швидкості;
	v
		цмr	– вектор відносної швидкості.
	v

Унаслідок симетричності механічної частини ОАК переносна швидкість центра мас напрямлена вздовж осі Х і визначається виразом (3.4). Відносний рух є обертальним з кутовою швидкістю і радіусом Ro (див. рис. 3.6, б):

r		2		2
vцм = Ro		ц	+ ξ ψ .			(3.31)
Проекции относительной скорости			Проекції		відносної	швидкості на
на оси связанной системы координат:		осі зв’язаної системи координат:
vцмr	= f7 (ϕ1)cos(ψ)			;		(3.32)
	x
	125

v	r			= f
	цм
			y	8
v		r		= −
		цм
			z

где

f		(	ϕ	)	=
	7		1
f		(	ϕ	)	=
	8		1

(ϕ1)cos(ψ)						;
Ro sin(ψ)						,
	де
Ro cos(ϕr );
R		(	ϕ	)	;
	o	sin
			r

(3.33)

(2.34)

ϕr	– угол между проекцией скорости
r	на плоскость OXY и осью Х.
vцм
	Множители в выражениях		(3.32),
(3.33), содержащие угол		ϕr ,	можно

определить по рис. 3.6, б с использованием (3.11)–(3.14):

ϕr – кут між проекцією швидкості vцмr

на площину OXY і віссю Х.

Множники у виразах (3.32), (3.33), що містять кут ϕr , можна визначити за рис. 3.6, б з використанням

(3.11)–(3.14):

cos

(

ϕ

r

)

= x

ξ цм′

;

sin

(

ϕr

)

=	1− cos	2	ϕ
			r

.

(3.35)

Максимальное опрокидывания ψmax

значение зависит от

угла	Максимальне значення	кута пере-
поло-	кидання ψmax залежить від	положення

жения центра масс при его движении в		центра мас при його русі в площині
плоскости OXY (см. рис. 3.6):		OXY (див. рис. 3.6):
		H0
ψmax = arctg			,	(3.36)
asin(ϕк ± ϕ1)

где	ϕк	b		– конструктивное
		= arctg
		a
значение угла ϕ1;
	H0	– высота подъема подвижной

опоры на полушаге.

Знак «+» в выражении (3.36) соответствует «передней» поднятой опоре, а «-» – «задней» по отношению к направлению движения.

де		b		– конструктивне зна-
	ϕк = arctg
		a
чення кута ϕ1;
	H0	– висота		піднімання рухомої

опори на півкроці.

Знак «+» у виразі (3.36) відповідає «передній» піднятій опорі, а «-» – «задній» відносно напрямку руху.

3.4. Нелинейная математическая	3.4. Нелінійна математична модель
модель движения робота	руху робота по заданій траєкторії
по заданной траектории
Положение робота на траектории	Положення робота на траєкторії

можно определить, зная координаты можна визначити, знаючи координати

126

точки цели в стартовой системе коор-			точки цілі у стартовій системі коорди-
динат (СК), скорость движения центра			нат (СК), швидкість руху центра мас у
масс в связанной СК и взаимное распо-			зв'язаній СК і взаємне розташування
ложение	неподвижных	стартовой	нерухомих стартової О0X0Y0, базової
О0X0Y0, базовой О0X01Y01 и подвижной			О0X01Y01 і рухомої зв'язаної ОXY сис-
связанной ОXY систем координат, как			тем координат, як показано на рис. 3.7.
показано на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Расположение точки цели Ц				Рис. 3.7. Розташування точки цілі Ц ві-
относительно стартовой О0X0Y0,				дносно стартової О0X0Y0, базової
базовой О0X01Y01 и связанной ОXY си-				О0X01Y01 і зв’язаної ОXY систем
стем координат						координат
Особенностью	взаимного распо-			Особливістю			взаємного	розташу-
ложения стартовой и базовой СК явля-				вання стартової та базової СК є те, що
ется то, что их начала отсчета совпада-				їх початки відліку збігаються, а вісь X01
ют, а ось X01 базовой СК направлена к				базової СК напрямлена до точки цілі Ц
точке цели Ц и отклонена от оси X0				і відхилена від осі X0 стартової СК на
стартовой СК на угол ϕ0 .				кут ϕ0 .
Компоненты	вектора скорости			Компоненти			вектора	швидкості
центра масс в стартовой СК можно				центра мас у стартовій СК можна ви-
определить с использованием матрицы				значити з використанням матриці на-
направляющих косинусов:				прямних косинусів:
	ν	цм0	= Mсвν		цм	,		(3.37)
				ст
где νцм0 – вектор скорости центра масс				де νцм0 – вектор швидкості центра мас
в стартовой СК;				у стартовій СК;
		127

Mсв

ст

=



cos sin

(ϕ5 (ϕ5

) )

−sin(ϕ		)
5
cos(ϕ	)
5



− матрица перехода от связанной СК к стартовой

Аналогичным образом можно осуществить переход от стартовой СК к базовой:

– матриця переходу від зв’язаної СК до стартової.

Аналогічним чином можна здійснити перехід від стартової СК до базової:

ν

цм01

=

M

ст б

νцм0

,

(3.38)

где

ν

цм01

– вектор скорости центра

де

νцм01

– вектор швидкості центра мас

масс в базовой СК;			у базовій СК;
cos(ϕ			)	−sin(ϕ	)
Mбст =		0	)	0
	sin(ϕ			cos(ϕ )
		0		0
− матрица перехода от стартовой СК к			– матриця переходу від стартової СК до
базовой.			базової.
С учетом (3.37), (3.38) матрицу пе-				З урахуванням (3.37), (3.38) матри-
рехода от связанной СК к базовой за-			цю переходу від зв’язаної СК до базової
пишем в виде			запишемо у вигляді

=

M

св

= M

ст

M

св

б

б

ст

cos

(

0 )

(

5 )

ϕ

cos

ϕ

− sin

sin

(

0 )

cos

(

5 )

+ cos

ϕ

ϕ

	cos(ϕ					)
=		sin(ϕ			0	)
(				0
	0 )			(		5
(	ϕ		sin	(	ϕ
	0 )					5
	ϕ		sin		ϕ

)

)

−sin(ϕ					) cos								(ϕ		)
			0										5
cos(ϕ				)					sin			(ϕ		)
		0									(		5
		(			0 )								5 )
−cos				ϕ				sin					ϕ		−
	(				0 )					(			5 )
−sin			ϕ				sin					ϕ			+

−sin(ϕ					)
		5
cos(ϕ				)
	(	5
sin		0 )	cos
	(	ϕ
cos		0 )	cos
		ϕ

=

(	5
(	ϕ
	5
	ϕ

)

)



. (3.39)

Выражения		(3.4),	(3.5),	Вирази (3.4), (3.5), (3.12) – (3.14),
(3.12) − (3.14), (3.22), (3.29), (3.30) –				(3.22), (3.29), (3.30) – (3.39) є неліній-
(3.39) представляют собой нелинейные				ними рівняннями математичної моделі
уравнения математической модели про-				просторового руху центра мас ОАК.
странственного движения центра масс
ОАУ.
Тогда	нелинейную математиче-			Тоді нелінійну математичну мо-
скую модель робота можно представить				дель робота можна подати в такому ви-
в таком виде:				гляді:
1) критерий адекватности модели-				1) критерій адекватності моделю-
рования и его численное значение, ко-				вання та його числове значення, яке
торое может быть получено путем				може бути отримане шляхом порівня-
сравнительного		анализа	результатов	льного аналізу результатів натурних та
натурных и вычислительных экспери-				обчислювальних експериментів із за-
ментов с	использованием		машинной	стосуванням машинної моделі;
модели;
2) номинальный режим функцио-				2) номінальний режим функціону-
			128

нирования, определяющий начальные	вання, який визначає початкові умови
условия (рабочая точка):	(робоча точка):

xцм01рт

=

0

;

yцм01рт

=

0

;

Mкррт

=

0

;

M

cΣрт

=

0

;

3) диапазон и характер изменения	3) діапазон і характер змінення
входного управляющего	вхідного керувального

M

кр

(

t

)

[

−0,08;

0,08]

,

Mкр

(

t

)

=

M		(
	1 t
	кр

)

и возмущающего

і збурювального

M

cΣ

(

t

)

[

0,001;0,02

]

Н·м,

McΣ

(

t

)

=

	(
M 1 t
c

)

воздействий, где 1(t)

– единичная сту-

пенчатая функция; 4) диапазон и характер изменения

выходных управляемых величин:

впливів, де 1(t) – одинична ступінчаста

функція; 4) діапазон і характер змінення ви-

хідних керованих величин:

xцм01

(

t

)

R,

yцм01

(

t

)

R;

5) оценочные значения параметров	5)	оцінні значення параметрів мо-
модели;	делі;
6) математические уравнения, свя-	6)	математичні рівняння, які
зывающие входные и выходные пере-	зв’язують вхідні й вихідні змінні:
менные:

x	a	cos	(	ϕ	)
				1

−

sin	(
b/a

ϕ1 2

)(	− cos	(
1
− 1− cos

ϕ	)
1
ϕ
1

)



1

;

ϕ5

= arcsin

a

(1− cos(ϕ1))

;

5

sin

1

1 ;

b

b/a

2

− 1

− cos

ϕ1

	K		CD			1
xцм′′ =					yцм′ − yC +		xцм′ +
		2
	K			+1		KCD
		CD

yцм′′ = yC + KCD (xцм′′ − xC );

K	CD	x	C

 

;

ξ =

y

цм′

−

y

цм′′

2

+

x

цм′

−

x

цм′′

2

;

A ϕ		1	2		1		2	2 1 1			2
				(		)	1		4	1	ψ
(	1)
	= Mкрf3 (ϕ1)− Mc2 − Mc3 − Mc4f3 (ϕ1);

129

f1

(

f	5	(	ϕ
			1

ϕ	)	=
1

)

a	2
4

2f

f

(				)				(			)			зм
A ϕ						= f			ϕ			+ J		z
		1					1			1
m	кр				cos		(	ϕ		)	−		sin
									1

b

a

	)Mкр					+ PОАУξ			(ϕ1);
		пм				пр
+ Jz					+ Jсп ;
											2
(	ϕ		)(			− cos	(	ϕ	))
				1
	1							1				+
	2
									2
		−		1		− cos		ϕ
								1

				sin	2 (ϕ )
+Jкp					1		;
z	b 2			− (1− cos(ϕ1))
						2
	a

)

2

(

ϕ

)

1− cos

(

ϕ

)

a

кр

sin

f

(ϕ

)=

m

cos(ϕ )

−

1

(

1

−sin(

ϕ )−

2

1

2

1

2

1

b

2

− 1− cos ϕ

1

a

b

2

(cos(ϕ1) − cos(2ϕ1))

− (1− cos

(ϕ1))2

+ sin2 (ϕ1)(1− cos(ϕ1))2

a

−

+

3

b

2

2

− (1− cos(ϕ1))

2

a

b

2

(1− cos(ϕ1))2

(ϕ1)(1− cos(ϕ1))

cos(ϕ1)

−

+ sin2

a

+2Jкр

sin(ϕ

);

z

2

2

1

b

− (1− cos(ϕ1))

2

a

f3 (ϕ1)=1−

sin(ϕ1)

;

b 2

− 1− cos ϕ1

2

a

f

(ϕ

)= ξ

∂ξ

;

4

1

∂ϕ1

130