Методы моделирования объектов автоматического управления

Подставим эти значения в выражение (2.11):

-nt

2

2

q = q

e

cos

k

- n

t +

0

+

q

e

k

2

- n

2

Підставимо ці значення у вираз

(2.11):

	n				2		2
			sin	k		- n		t +
k	2	- n	2

t	k	2	- n	2	t.	(2.13)
sin

В этом выражении первое слагаемое описывает колебания механического объекта, возникающие из-за его

начального отклонения

q0

от положе-

ния равновесия, а второе − колебания, обусловленные начальной скоростью q0 .

У цьому виразі перший доданок описує коливання механічного об’єкта, що виникли внаслідок його початкового відхилення q0 від положення рівно-

ваги, а другий − коливання, обумовлені початковою швідкістю q0 .

Частное решение дифференциального уравнения (2.10) получается, если задать конкретное выражение возму-

щающей силы	Q	F	(t) . Для возмущаю-

щей силы типовым воздействием является импульсное воздействие, описываемое функцией Дирака − дельта- функцией δ(t). Предположим, что возмущающая сила действует с момента времени t1, тогда

Частинний розв’язок диференціального рівняння (2.10) можна отримати, якщо задати конкретний вираз збу-

рювальної сили	Q	F	(t) . Для збурюваль-

ної сили типовим впливом є імпульсний вплив, що описується функцією Дірака – дельта-функцією δ(t). Припустимо, що збурювальна сила діє з моменту часу t1, тоді

q = q

0

e

-nt

(cos

k

2

- n

2

t +

n

sin

k

2

- n

2

t) +

0

e

-nt

sin

k

2

2

2

2

2

k

- n

k

- n

1

t

+

∫δ(t1)e-n(t-t1)sin

k2 - n2 (t - t1)dt.

a

k2 - n2

0

-

n

2

t +

(2.14)

Это уравнение является		общим	Це	рівняння	є	загальним
решением дифференциального уравне-			розв’язком диференціального рівняння
ния (2.9) для случая малого сопротив-			(2.9) для випадку малого опору при дії
ления при действии импульсной воз-			імпульсної збурювальної сили. Анало-
мущающей	силы. Аналогично можно		гічно можна отримати розв’язки для
получить решения для других типовых			інших	типових впливів		збурювальної
воздействий возмущающей силы: сту-			сили: ступеневого, гармонійного, лі-
пенчатого,	гармонического,	линейно	нійно змінного.

изменяющегося.

81

2.5. Пример построения уравнений						2.5. Приклад побудови рівнянь
	математической модели					математичної моделі
продольного движения самолета						поздовжнього руху літака
2.5.1. Построение нелинейных						2.5.1. Побудова нелінійних рівнянь
уравнений математической модели						математичної моделі поздовжнього
продольного движения самолёта						руху літака
Любой самолет представляет собой						Будь-який літак є складною ієрар-
сложную		иерархическую			систему,	хічною системою, що складається з кі-
включающую в себя ряд взаимосвязан-						лькох взаємозв'язаних підсистем та аг-
ных подсистем и агрегатов. Большин-						регатів. Більшість літаків складається з
ство самолетов состоит из следующих						таких складових частин:
составных частей:
1) корпус (фюзеляж), предназна-						1) корпус (фюзеляж), призначений
ченный для размещения основных агре-						для розміщення основних агрегатів і
гатов и груза, а также конструктивного						вантажу, а також конструктивного
сочленения всех подсистем самолета;						зчленування всіх підсистем літака;
2) аэродинамические управляющие						2) аеродинамічні керувальні орга-
органы – элероны, стабилизаторы (рули						ни – елерони, стабілізатори (рулі висо-
высоты) и киль (руль направления), ис-						ти) і кіль (руль напрямку), що викорис-
пользуемые для создания управляющих						товуються для створення керувальних
сил и моментов;						сил і моментів;
3) силовая установка, применяемая						3) силова установка, що застосову-
для создания силы тяги (иногда подъ-						ється для створення сили тяги (іноді пі-
емной и управляющей сил), а также						днімальної і керувальної сил), а також
обеспечения энергией подсистем и аг-						забезпечення енергією підсистем та аг-
регатов самолета;						регатів літака;
4) топливная система, включающая						4) паливна система, що містить ре-
в себя резервуары для хранения топли-						зервуари для зберігання палива, магіст-
ва, магистрали для их подачи, насосные						ралі для його подавання, помпові стан-
станции;						ції;
5)	бортовая		система		управления,	5) бортова система керування, при-
предназначенная			для	решения задач		значена для вирішення завдань навіга-
навигации,		наведения,		стабилизации,		ції, наведення, стабілізації, контролю й
контроля и прогнозирования состояния						прогнозування стану літака.
самолета.
Рассмотрим особенности управле-						Розглянемо особливості керування
ния самолетом и общие требования к						літаком і загальні вимоги до керованого
управляемому полету. Движение само-						польоту. Рух літака в просторі визнача-
лета	в пространстве			определяется		ється початковими умовами і силами й
начальными условиями и действующи-						моментами, що діють на літак. На літак
ми на него силами и моментами. На са-						діють сила тяги, аеродинамічні сили й
молет действуют сила тяги, аэродина-						сила тяжіння. Для керування рухом лі-

82

і напрямлена вниз цієї сили повертає

мические силы и сила тяжести. Для			така зазвичай використовують аероди-
управления движением самолета обыч-			намічні й газодинамічні сили. На рис.
но используют аэродинамические и га-			2.5 показано схему літака, на якому як
зодинамические силы. На рис. 2.5 пока-			рульові органи застосовано елерони 1,
зана схема самолета, на котором в каче-			руль висоти (поворотний стабілізатор)
стве рулевых органов применены эле-			2 і рулі напрямку 3. Піднімальна сила
роны 1, руль высоты (поворотный ста-			літака створюється головним чином
билизатор) 2 и рули направления 3.			крилом 4, частиною якого є елерони,
Подъемная	сила самолета	создается	тому з допомогою елеронів можна змі-
главным образом крылом 4, частью ко-			нювати напрямок і частково величину
торого являются элероны, поэтому с			піднімальної сили. Стійкість і керова-
помощью	элеронов можно	изменять	ність літака забезпечується горизонта-
направление и отчасти величину подъ-			льним (поворотний стабілізатор 2) і ве-
емной силы. Устойчивость и управляе-			ртикальним (кілі 5 і рулі напрямку 3)
мость самолета обеспечивается гори-			оперенням.
зонтальным (поворотный стабилизатор

2) и вертикальным (кили 5 и рули направления 3) оперением.

Рис. 2.5. Схема расположения органов управления самолета

В вертикальной плоскости самолетом управляют с помощью рулей высоты, которые из нейтрального положения отклоняют вверх или вниз. Если рули отклонены вверх (вниз), то под действием встречного потока возникает аэродинамическая сила YC , создаваемая рулями высоты – стабилизаторами − и направленная вниз (вверх).

Момент MZC этой силы поворачивает самолет относительно оси OZ, уве-

Рис. 2.5. Схема розташування органів керування літака

У вертикальній площині літаком керують з допомогою рулів висоти, які з нейтрального положення відхиляють уверх або вниз. Якщо рулі відхилено вверх (униз), то під дією зустрічного потоку виникає аеродинамічна сила YC , яка створюється рулями висоти –

стабілізаторами − (уверх).

Момент MZC

літак відносно осі OZ, збільшуючи

83

личивая (уменьшая) угол атаки, вслед-				(зменшуючи) кут атаки, унаслідок чого
ствие чего изменяется подъемная сила				змінюється піднімальна сила крил. При
крыльев. При изменении подъемной си-				зміненні піднімальної сили змінюється
лы изменяется высота полета, а момент				висота польоту, а момент MZC змінює
MZC изменяет угол наклона продольной				кут нахилу поздовжньої осі літака (кут
оси самолета (угол тангажа). Другими				тангажу). Іншими словами, рулі висоти
словами,	рули	высоты	предназначены	призначені для керування кутом танга-
для управления углом тангажа и высотой				жу і висотою польоту.
полета.
Управление самолетом в горизон-				Керування літаком у горизонталь-
тальной плоскости осуществляется эле-				ній площині здійснюється елеронами і
ронами и рулем направления. При				рулем	напрямку. При нейтральному
нейтральном положении элеронов подъ-				положенні		елеронів	піднімальні сили
емные силы правого и левого полукрыль-				правого й лівого півкрил є однаковими.
ев одинаковы. Если элероны отклоняются				Якщо	елерони відхиляються (правий
(правый элерон поднимается, а левый –				елерон піднімається, а лівий – опуска-
опускается, и наоборот), то подъемная				ється, і навпаки), то піднімальна сила
сила полукрыла с поднятым элероном				півкрила з піднятим елероном зменшу-
уменьшается, а с опущенным – увеличи-				ється, а з опущеним – збільшується. Рі-
вается. Разность подъемных сил крыльев				зниця піднімальних сил крил зумовлює
обуславливает		возникновение момента		виникнення моменту			MX відносно осі
MX относительно оси OX, называемого				OX, який називають моментом крену.
моментом крена. Под действием этого				Під дією цього моменту літак кренить-
момента самолет накреняется, а так как				ся, а оскільки піднімальні сили зали-
подъемные силы остаются перпендику-				шаються перпендикулярними до пло-
лярными к плоскостям крыльев, то обра-				щин крил, то утворюються горизонта-
зуются	горизонтальные		составляющие	льні складові цих сил, напрямлені в бік
этих сил, направленные в сторону крена.				крену. Під дією горизонтальних скла-
Под действием горизонтальных состав-				дових центр мас літака буде переміща-
ляющих центр масс самолета будет пере-				тися в горизонтальній площині в бік
мещаться в горизонтальной плоскости в				крену. Таким чином, з допомогою еле-
сторону крена. Таким образом, с помо-				ронів можна керувати кутом крену й
щью элеронов можно управлять углом				бічним рухом центра мас літака.
крена и боковым движением центра масс
самолета.
При отклонении руля направления				При		відхиленні	руля напрямку
вправо или влево от нейтрального поло-				вправо або вліво від нейтрального по-
жения возникает аэродинамический мо-				ложення виникає аеродинамічний мо-
мент MY относительно оси OY, называ-				мент MY відносно осі OY, який нази-
емый моментом рыскания. Под действи-				вають моментом рискання. Під дією
ем этого момента самолет поворачивает-				цього моменту літак повертається в го-
ся в горизонтальной плоскости вправо				ризонтальній площині вправо або вліво,
или влево, т. е. изменяется угол рыска-				тобто змінюється кут рискання літака.

84

ния самолета. При этом изменяется так-		При цьому змінюється також кут ков-
же угол скольжения – угол, образуемый		зання – кут, утворений вектором швид-
вектором скорости и плоскостью сим-		кості і площиною симетрії літака. Уна-
метрии самолета. В результате этого		слідок цього виникає бічна сила, про-
возникает боковая сила, пропорциональ-		порційна куту ковзання, що спричиняє
ная углу скольжения, вызывающая боко-		бічний рух літака. Отже, з допомогою
вое движение самолета. Следовательно, с		руля напрямку можна керувати кутами
помощью руля	направления можно	рискання й ковзання, а також бічним
управлять углами рыскания и скольже-		рухом центра мас літака.
ния, а также боковым движением центра
масс самолета.
Управляемый полет самолета осу-		Керований політ літака здійсню-
ществляется с помощью систем управле-		ється з допомогою систем керування.
ния. Рассмотрим	задачи, выполняемые	Розглянемо завдання, що виконуються
этими системами. В простейшем случае		цими системами. У найпростішому ви-
самолет можно рассматривать как твер-		падку літак можна розглядати як тверде
дое тело, движение которого характери-		тіло, рух якого характеризується шіс-
зуется шестью степенями свободы. Для		тьма ступенями свободи. Для керуван-
управления самолетом в общем случае		ня літаком в загальному випадку необ-
необходимо создавать управляющие си-		хідно створювати керувальні сили й
лы и моменты по трем взаимно перпен-		моменти по трьох взаємно перпендику-
дикулярным осям и изменять их в соот-		лярних осях і змінювати їх відповідно
ветствии с требуемыми законами управ-		до необхідних законів керування. Ке-
ления. Управляющие силы и моменты		рувальні сили й моменти формуються в
формируются в системе управления в со-		системі керування відповідно до інфо-
ответствии с информацией о движении		рмації про рух літака, при цьому сис-
самолета, при этом система управления		тема керування повинна мати стільки
должна иметь столько каналов управле-		каналів	керування, скільки	ступенів
ния, сколько степеней свободы имеет		свободи має керований об'єкт.
управляемый объект.
Движение самолета можно рассмат-		Рух літака можна розглядати як
ривать как комбинацию двух составля-		комбінацію двох складових – поступа-
ющих − поступательного движения цен-		льного руху центра мас і обертального
тра масс и вращательного движения во-		руху навколо центра мас. Керування
круг центра масс. Управление движени-		рухом центра мас є необхідним для то-
ем центра масс необходимо для того,		го, щоб літак здійснював політ по зада-
чтобы самолет совершал полет по задан-		ній траєкторії. Керування рухом навко-
ной траектории. Управление движением		ло центра мас, або керування кутовими
вокруг центра масс, или управление уг-		рухами, обумовлене тим, що літак по-
ловыми движениями, обусловлено тем,		винен займати цілком конкретне поло-
что самолет должен занимать вполне		ження	відносно вектора	швидкості
определенное положение по отношению		центра мас.
к вектору скорости центра масс.
Благодаря управлению движением		Завдяки керуванню рухом літака

85

самолета достигаются: заданное каче-

досягаються: задана якість перехідного

ство

переходного процесса, точность

процесу,

точність

виконання

команд,

исполнения команд, слабая реакция на

слабка реакція на вплив збурення, точ-

влияние возмущения, точность наведе-

ність наведення на цілі, оптимальність

ния на цели, оптимальность движения,

руху, безпека польоту.

безопасность полета.

Качественно решить сложные зада-

Якісно вирішити складні завдання

чи управления полетом самолета можно

керування польотом літака можна шля-

путем

автоматизации.

Автоматизация

хом автоматизації. Автоматизація ке-

управления полетом должна охватывать

рування польотом має охоплювати всю

всю последовательность

взаимосвязан-

послідовність взаємозв'язаних функцій,

ных функций, таких, как сбор информа-

таких, як збір інформації про етапи й

ции об этапах и режимах полета, перера-

режими польоту, перероблення й фор-

ботка и формирование законов управле-

мування законів керування, виконання

ния, исполнение команд и т. д. Реализа-

команд і т. ін. Реалізація процесів ав-

ция процессов автоматического управ-

томатичного керування ґрунтується на

ления

основывается на

динамических

динамічних властивостях

літака,

які

свойствах самолета, которые могут быть

можуть бути визначені на основі мате-

определены на основе математического

матичного моделювання.

моделирования.

Рассмотрим продольное движение

Розглянемо поздовжній рух літа-

самолета.

ка.

1. Физическая модель продольного

1. Фізична модель поздовжнього

движения самолета (рис. 2.6).

руху літака (рис. 2.6).

На рис. 2.6 представлены:

На рис. 2.6 показано:

а) системы

координат: инерциаль-

а) системи координат: інерціальна

ная нормальная земная

O

0

X

Y

нормальна земна O

0

X

Y

(НЗСК);

но-

g g (НЗСК);

g g

нормальная

OX

Y

рмальна

OX

Y

(НСК);

швидкісна

g g (НСК); скоростная

g g

OXaYa (ССК); связанная OXY (СвСК);

OX

Y (ШСК); зв’язана OXY

(ЗСК);

a a

б) силы, действующие на самолет:

б) сили, що діють на літак: підні-

подъемная

Y

мальна Y ; лобового опору

X

a

; тяги P ;

a ; лобового сопротивления

a

Xa ; тяги P

ваги G ;

; веса G ;

в) параметры продольного движе-

в) параметри поздовжнього руху:

повітряна швидкість

V ; кути атаки

α ,

ния: воздушная скорость V ; углы атаки

α , тангажа υ, наклона траектории θ ,

тангажу

υ, нахилу траєкторії

θ , відхи-

отклонения руля высоты

δв ; координаты

лення руля висоти

δв ; координати по-

положения центра масс xc , yc .

ложення центра мас xc , yc .

2. Визначення

ступенів

свободи,

2. Определение степеней свободы,

вибір узагальнених координат.

выбор обобщенных координат.

Продольное движение характери-

Поздовжній рух характеризується

зуется тремя степенями свободы. В каче-

трьома ступенями свободи. Як узагаль-

86

стве обобщенных координат, однозначно		нені координати, що однозначно визна-
определяющих положение самолета в		чають положення літака у вертикальній
вертикальной плоскости, можно выбрать		площині, можна вибрати координати
координаты положения центра масс xc ,		положення центра мас xc , yc , і кут
yc и угол тангажа υ.		тангажу υ.

Рис. 2.6. Физическая модель продольного движения самолета

3. Выражение для кинетической энергии продольного движения.

Кинетическую энергию (КЭ) продольного движения можно представить в виде двух составляющих – КЭ переносного движения центра масс и КЭ относительного вращательного движения вокруг центра масс:

Рис. 2.6. Фізична модель поздовжнього руху літака

3. Вираз для кінетичної енергії поздовжнього руху.

Кінетичну енергію (КЕ) поздовжнього руху можна подати у вигляді двох складових – КЕ переносного руху центра мас і КЕ відносного обертального руху навколо центра мас:

T = Te + Tr ,		(2.15)
где Te – кинетическая энергия пере-	де Te – кінетична енергія переносного
носного поступательного движения;	поступального руху;
Tr – кинетическая энергия относи-	Tr – кінетична енергія відносного
тельного вращательного движения.	обертального руху.
КЭ переносного движения запи-	КЕ переносного руху запишемо у
шем в виде	вигляді

87

T	e	=	1	2	,
				MV
			2	c

(2.16)

где M	– масса самолета;
Vc	– абсолютная скорость центра

масс.

КЭ относительного движения представим как

де M	– маса літака;
Vc	– абсолютна швидкість центра
мас.

КЕ відносного руху подамо як

T	r

=

1 2

I	2
	ω
z

,

(2.17)

где Iz – момент инерции самолета относительно боковой оси Z;

ω – угловая скорость вращения вокруг центра масс.

Выразим линейную и угловую скорости через обобщенные координаты:

де Iz – момент інерції літака відносно бокової осі Z;

ω – кутова швидкість обертання навколо центра мас.

Виразимо лінійну й кутову швидкості через узагальнені координати:

Vc = V = Vx i + Vy j =					c	i		y	j	;
V	2	= V	2	= (xc i yc j			2		2	;
						x c		y c

(2.18)

(2.19)

где

i

,

j

,

k

ω = ωzk

2	2	=	(
ω	= ω
	z
– единичные орты НСК.		де

=
					k ;
				2
	k
i		,			j ,

k

(2.20)

2	,	(2.21)

– одиничні орти НСК.

После подстановки (2.19), (2.21) в	Після підстановки (2.19), (2.21) у
(2.16), (2.17) с учетом (2.15) запишем	(2.16), (2.17) з урахуванням (2.15) за-
	пишемо

	1			2
T =	M(x	)			.	(2.22)
			2	z
	2

4. Определим обобщенные силы,	4. Визначимо узагальнені сили, для
для чего запишем выражения для эле-	чого запишемо вирази для елементарної
ментарной работы всех сил вдоль вы-	роботи всіх сил уздовж вибраних уза-
бранных обобщенных координат:	гальнених координат:

δAxc = Qxc δxc = Pcos(υ)δxc − Xa cos(θ)δxc − Ya sin(θ)δxc;				(2.23)
		Qx	= Pcos(υ)− Xa cos(θ)− Ya sin(θ);	(2.24)
			c
δAy	= Qy	δyc = Psin(υ)δyc − Xa sin(θ)δyc + Ya cos(θ)δyc − Gδyc ; (2.25)
c		c
		Qy = Psin(υ)− Xa sin(θ)+ Ya cos(θ)− G ;		(2.26)
		c
			δAυ = Qυδυ = Mzδυ ;	(2.27)
			Qυ = Mz .	(2.28)

88

5. Продифференцируем выражение	5.	Здиференціюємо вираз для кіне-
для кинетической энергии (2.22):	тичної	енергії (2.22):

∂T

= 0

;

∂T

= Mxc

;

d ∂T

= Mxc

;

∂x

∂x

dt ∂x

c

c

c

∂T = 0;

∂T = My

c

; d ∂T = My

c

;

∂y

c

∂y

c

dt ∂y

c

	∂T	= 0	;	∂T	= I	υ ;	d ∂T	= I .
	∂υ			∂υ			dt ∂υ

(2.29)

(2.30)

(2.31)

6.	Составим	дифференциальные		6. Складемо диференціальні рів-
уравнения продольного движения са-				няння поздовжнього руху літака вихо-
молета исходя из уравнений Лагранжа				дячи з рівнянь Лагранжа другого роду
второго рода (2.8) с учетом выражений				(2.8) з урахуванням виразів (2.21),
(2.21),	(2.24),	(2.26),	(2.28),	(2.24), (2.26), (2.28), (2.29)–(2.31):

(2.29)–(2.31):

Mx		P	(υ)− Xa cos(θ)− Ya sin(θ);
Myc	P		(υ)− Xa sin(θ)+ Ya cos(θ)− G;

Iz

z

M

z .

(2.32)

(2.33)

(2.34)

Выразим проекции абсолютного ускорения центра масс через воздушную скорость и угол наклона траектории, а угол тангажа − через угол наклона траектории и угол атаки:

Виразимо проекції абсолютного прискорення центра мас через повітряну швидкість і кут нахилу траєкторії, а кут тангажу − через кут нахилу траєкторії і кут атаки:

x	V	d	cos	V
		Vcos
		dt
y	V	d	sin	V
		Vsin
	c	dt

υ = θ + α ,

sin	Vθ ;
cos	Vθ ;

(2.35)

(2.36)

(2.37)

тогда уравнения (2.32)–(2.34) примут			тоді рівняння (2.32)–(2.34) наберуть ви-
вид			гляду
M(cos(θ) V sin	)V	P	(θ + α)− Xa cos(θ)− Ya sin(θ);				(2.38)
M(sin(θ) V cos	)V	P (θ + α)− Xa sin(θ)+ Ya cos(θ)− G;					(2.39)
		Iz		M	z .		(2.40)
Дополним уравнения	динамики			Доповнимо рівняння динаміки кі-
кинематическими соотношениями:			нематичними співвідношеннями:
		z ; υ = θ + α; H V				θ),	(2.41)
где H – вертикальная скорость.			де H – вертикальна швидкість.

89

Аэродинамические	силы опреде-	Аеродинамічні сили визначаються
ляются следующими	соотношениями	такими співвідношеннями [1]:
[1]:

Xa

= Cxa

ρV	2
2

Sкр

;

Ya

=

C

ya

ρV 2

2

Sкр

;

Mz

= mza

ρV	2
2

S	b	a
кр

,

(2.42)

где Cxa , Cya , mza	– аэродинамические
коэффициенты;

ρ = ρ(H) – плотность воздуха;

Sкр	– площадь крыла;
ba	– средняя аэродинамическая

де	Cxa	, Cya ,	mza – аеродинамічні кое-
фіцієнти;
	ρ = ρ(H)		– густина повітря;
	Sкр	– площа крила;
	ba	– середня аеродинамічна хорда

хорда крыла.	крила.
Аэродинамические коэффициенты	Аеродинамічні коефіцієнти можна
можно представить наиболее суще-	подати найбільш істотними залежнос-
ственными зависимостями [1]:	тями [1]:

Cxa = Cxa (V, H, α); Cya = Cya (V, H, α, δв ); mza = mza (V, H, α,

,

, δв ), (2.43)

где

δ

в

– отклонение руля высоты;

P

=

P

(

де

V,

δв H,

– відхилення руля висоти;

δр ),

(2.44)

где δр – отклонение органа управления двигателем.

де δр – відхилення органа керування двигуном.

2.5.2. Получение линеаризованных	2.5.2. Отримання лінеаризованих
уравнений математической модели	рівнянь математичної моделі
продольного движения самолета	поздовжнього руху літака
Для получения линеаризованных	Для отримання лінеаризованих рі-
уравнений математической модели	внянь математичної моделі поздовж-
продольного движения будем исполь-	нього руху застосуємо метод аналітич-
зовать метод аналитической линеариза-	ної лінеаризації, що ґрунтується на
ции, основанный на разложении нели-	розвиненні	нелінійних	рівнянь
нейных уравнений (2.38)–(2.44) в ряд	(2.38)–(2.44) у ряд Тейлора. Як почат-
Тейлора. В качестве начальных условий	кові умови візьмемо параметри сталого
примем параметры устойчивого и не-	і незбуреного горизонтального польоту:
возмущенного горизонтального полета:

V0, θ0, υ0, α0, P0, Xa0, Ya0, Mz0 = 0, ωz0 = 0, H

0 .

(2.45)

Разложение уравнения (2.38) в ряд	Розвинення рівняння (2.38) у ряд
Тейлора:	Тейлора:

90