Методы моделирования объектов автоматического управления

мый древний и знаменитый пример неприклад невизначеного рівняння: определенного уравнения:

x

2

+

y

2

=

z

2

.

Во многих	клинописных текстах		У	багатьох		клинописних	текстах
описано решение этого уравнения в ра-			описано розв’язання цього рівняння в
циональных числах (x, y, z). Значитель-			раціональних числах (x, y, z). Значно
но позже их стали называть «пифагоро-			пізніше їх стали називати «піфагорови-
выми тройками».			ми трійками».
Одним из	самых	значительных	Одним з найбільш значущих гео-
геометрических открытий было появ-			метричних відкриттів була поява для
ление для общего случая теоремы, впо-			загального		випадку теореми,		згодом
следствии названной теоремой Пифаго-			названої теоремою Піфагора. Уперше
ра. Впервые она упоминается в клино-			вона згадується в клинописних текс-
писных текстах эпохи царя Хаммурапи.			тах епохи царя Хаммурапі. Зв'язок ге-
Связь геометрических задач с алгеброй			ометричних задач з алгеброю й теорі-
и теорией чисел – одна из особенностей			єю чисел – одна з особливостей вави-
вавилонской математики. Следует от-			лонської математики. Слід зазначити,
метить, что в Месопотамии все клино-			що в Месопотамії всі клинописні тек-
писные тексты излагались догматиче-			сти викладалися догматично. Усі пра-
ски. Все правила носили рецептурный			вила мали рецептурний характер. У
характер. В чисто иерархических и дес-			суто ієрархічних і деспотичних дер-
потических государствах господствовал			жавах	панував		авторитарний	склад
авторитарный склад мышления. Из-			мислення. Відомі письмові свідчення
вестные письменные свидетельства по-			появи засобів кількісного відображен-
явления средств количественного отра-			ня реального світу являють собою, по
жения реального мира		представляют	суті, перші своєрідні підручники, у
собой, по сути, первые своеобразные			яких було наведено звід правил для
учебники, в которых был приведен свод			ров’язання		конкретних практичних
правил для решения конкретных прак-			задач. Поступово й дуже повільно такі
тических задач. Постепенно и очень			задачі почали узагальнюватися й на-
медленно такие задачи начали обоб-			бувати більш абстрактних рис, що
щаться и приобретать более абстракт-			привело до появи перших позиційних
ные черты, что привело к появлению			систем числення, чотирьох арифмети-
первых позиционных систем счисле-			чних дій, до зародження алгебри, гео-
ния, четырех арифметических дей-			метрії і тригонометрії [27, 28].
ствий, к зарождению алгебры, геомет-
рии и тригонометрии [27, 28].
Второй период в развитии матема-			Другий період у розвитку матема-
тики А. Н. Колмогоров назвал перио-			тики А. М. Колмогоров назвав періо-
дом элементарной математики – с V в.			дом елементарної математики – від V
до н. э. по XVI в. включительно. Осо-			ст. до н. е. до XVI ст. включно. Особ-
бенностью этого периода является ста-			ливістю цього періоду є становлення
		51

новление математики как самостоя-								математики як самостійної науки зі
тельной науки со своим своеобразным								своїм своєрідним методом пізнання ре-
методом познания реального мира −								ального світу − методом, покликаним
методом,	призванным					обеспечивать		забезпечувати подальший розвиток ос-
дальнейшее развитие основных поня-								новних понять і пропозицій в досить
тий и предложений в достаточно общей								загальній формі. Так, у школі давньог-
форме. Так, в школе древнегреческого								рецького	мислителя	Піфагора
мыслителя Пифагора (ок. 570 – ок. 500								(бл. 570 – бл. 500 рр. до н. е.) арифме-
гг. до н. э.) арифметика из простейшего								тика з найпростішого мистецтва чис-
искусства счисления перерастает в тео-								лення переростає в теорію чисел. Не
рию чисел. Не ограничиваясь прибли-								обмежуючись наближеними, емпірично
женными,		эмпирически				найденными		знайденими розв’язками, грецькі гео-
решениями, греческие геометры ищут								метри шукають точні докази й логічно
точные	доказательства					и	логически	правильні	вирішення	математичних
правильные		решения			математических			проблем. Стандартним прийомом вимі-
проблем. Стандартным приемом изме-								рювання різних площ та об’ємів, що не
рения различных площадей и объемов,								піддаються визначенню елементарними
не поддающихся определению элемен-								засобами, став метод вичерпання, який
тарными средствами, стал метод исчер-								полягає в наближенні шуканої величи-
пывания,	состоящий				в	приближении		ни послідовностями відомих величин,
искомой величины сходящимися к ней								що збігаються до неї знизу і зверху.
снизу и	сверху		последовательностями					Наприклад, площа кола апроксимува-
известных величин. К примеру, пло-								лася послідовностями вписаних і опи-
щадь круга аппроксимировалась после-								саних правильних багатокутників зі
довательностями вписанных и описан-								сторонами, кількість яких необмежено
ных правильных				многоугольников со				збільшується, а довжина необмежено
сторонами, число которых неограни-								зменшується. Підвищуються вимоги до
ченно увеличивается, а длина неогра-								швидкості математичних перетворень.
ниченно уменьшается. Возрастают тре-
бования	к	скорости			математических
преобразований.
С III в. до н. э. на протяжении семи								З III ст. до н. е. протягом семи сто-
столетий центром научных и особенно								літь центром наукових і особливо ма-
математических			исследований стано-					тематичних досліджень стає Олександ-
вится Александрия. Греческая матема-								рія. Грецька математика тут досягла
тика здесь достигла своего высшего								свого найвищого розквіту. Олександрія
расцвета. Александрия с ее «музеем»,								з її «музеєм», що є, по суті, першим на-
являющимся, по сути, первым научно-								уково-дослідним інститутом, і бібліо-
исследовательским институтом, и биб-								теками притягувала всіх найвизначні-
лиотеками притягивала всех крупней-								ших учених світу. У цей період на роз-
ших ученых мира. В этот период на								виток математики мали істотний вплив
развитие математики оказали суще-								Евклід, Архімед, Ератосфен, Аполлоній
ственное	влияние			Евклид,			Архимед,	Пергський. У своїх «Початках» Евклід
							52

Эратосфен,

Аполлоний

Пергский. В

зібрав і піддав остаточному логічному

своих «Началах» Евклид собрал и под-

переробленню досягнення попередньо-

верг окончательной логической перера-

го періоду в області геометрії.

ботке достижения предыдущего перио-

да в области геометрии.

Самостоятельное и широкое разви-

Самостійного й широкого розвит-

тие настоящее алгебраическое исчисле-

ку справжнє алгебричне числення на-

ние получает лишь в «Арифметике»

буває лише в «Арифметиці» Діофанта

Диофанта Александрийского (ок. III в.),

Олександрійського (бл. III ст.), присвя-

посвященной

в

основном

решению

ченій в основному розв’язанню рів-

уравнений.

нянь.

Китайская

«Математика

в девяти

Китайська «Математика в дев'яти

книгах» обобщила ранние работы ки-

книгах» узагальнила ранні роботи ки-

тайской школы (II–I вв. до н. э.). Это

тайської школи (II–I ст. до н. е.). Цей

сочинение заложило основы прогрессу

твір заклав основи прогресу китайської

китайской математики вплоть до XIV в.

математики аж до XIV ст. Тут набули

Здесь получили развитие решения ал-

розвитку розв’язання

алгебричних рів-

гебраических уравнений первой, второй

нянь першого, другого і більш високих

и более высоких степеней.

степенів.

Развивается и индийская матема-

Розвивається й індійська матема-

тическая культура, заслуги которой со-

тична культура, заслуги якої полягають

стоят во введении современной деся-

у введенні сучасної десяткової пози-

тичной позиционной системы счисле-

ційної системи числення, а також у

ния, а также в создании алгебры для

створенні алгебри для дробів, ірраціо-

дробей, иррациональных и отрицатель-

нальних і від’ємних чисел. Брахмагупта

ных

чисел.

Брахмагупта

(бл. 598 – 660 рр.), індійський матема-

(ок. 598 – 660 гг.), индийский матема-

тик і астроном, у творі «Удосконалене

тик и астроном, в сочинении «Усовер-

вивчення Брахми» виклав своє вчення

шенствованное изучение Брахмы» из-

про

арифметичні

прогресії

і

ложил свое учение об арифметической

розв’язання квадратних рівнянь.

прогрессии

и

решении

квадратных

уравнений.

Развивается

арабская

математиче-

Розвивається арабська математич-

ская школа. К примеру, Аль-Хорезми

на школа. Наприклад, Аль-Хорезмі

(IX в.) впервые дал изложение алгебры

(IX ст.) уперше дав викладення алгебри

как самостоятельной

науки.

Бируни

як самостійної науки. Біруні звів задачу

свел задачу о нахождении стороны пра-

про знаходження сторони правильного

вильного девятиугольника

к

решению

дев'ятикутника до розв’язання рівняння

уравнения

x3 +1= 3x

и

получил при-

x3 +1= 3x та

отримав

наближений

ближенное

решение

этого уравнения.

розв’язок цього рівняння. Омар Хайям

Омар Хайям (XI–XII вв.) систематиче-

(XI–XII ст.) cистематично вивчав рів-

ски изучал уравнения третьей степени,

няння третього степеня, дав їх класифі-

дал их классификацию, выяснил усло-

кацію,

з'ясував

умови їх

розв'язності.

53

вия их разрешимости. Аль-Баттани					Аль-Баттані (IX–X ст.) увів у викорис-
(IX–X вв.) ввел в употребление триго-					тання тригонометричні функції синус,
нометрические функции синус, тангенс					тангенс і котангенс. За часів Улугбека в
и котангенс. При Улугбеке в Самаркан-					Самарканді в XV ст. була побудована й
де в XV в. была построена и действова-					діяла унікальна обсерваторія, у якій
ла уникальная обсерватория, в которой					проводилися неперевершені на той час
производились в то время непревзой-					за точністю астрономічні спостережен-
денные по		точности	астрономические		ня.
наблюдения.
В Западной Европе в XII–XV вв.					У Західній Європі в XII–XV ст. ві-
происходит усвоение наследства древ-					дбувається засвоєння спадщини старо-
него мира и Востока. Появляются учеб-					давнього світу і Сходу. Появляються
ники. Центрами теоретической научной					підручники. Центрами теоретичної на-
мысли	становятся		университеты.		укової думки стають університети. XVI
XVI век для Западной Европы был ве-					століття для Західної Європи було сто-
ком превосходства над древним миром					літтям переваги над стародавнім світом
и Востоком.					і Сходом.
Третий период в развитии матема-					Третій період у розвитку матема-
тики, по А. Н. Колмогорову, – это пе-					тики, за А. М. Колмогоровим, – це пе-
риод математики переменных величин					ріод математики змінних величин
(XVII–XVIII вв.). Ключевым моментом					(XVII–XVIII ст.). Ключовим момен-
этого периода являлось введение в поле					том цього періоду було введення в по-
математических идей изменения, дви-					ле математичних ідей змінення, руху.
жения. Произошел переход от статиче-					Відбувся перехід від статичних уяв-
ских представлений о реальном мире к					лень про реальний світ до динамічних.
динамическим. Это потребовало суще-					Це потребувало істотного розширення
ственного расширения круга количе-					кола кількісних відношень і просторо-
ственных отношений и пространствен-					вих форм, що вивчалися раніше. Так,
ных форм, изучавшихся ранее. Так,					замість поняття величини числа вису-
вместо понятия величины числа выдви-					вається нове поняття − «функції». До-
гается новое понятие − «функции». Ис-					слідження змінних величин і функціо-
следование		переменных		величин и	нальних залежностей		приводить до
функциональных зависимостей приво-					формування	основ	математичного
дит к формированию основ математи-					аналізу. Створюється диференціальне
ческого анализа. Создается дифферен-					й інтегральне числення. Пізнані осно-
циальное	и	интегральное		исчисление.	вні закони механіки й фізики пода-
Познанные основные законы механики					ються у формі диференціальних рів-
и физики представляются в форме					нянь, і завдання пошуку розв’язків та-
дифференциальных уравнений, и задача					ких рівнянь стає надзвичайно актуа-
поиска решений таких уравнений ста-					льним. Отже, поряд з алгебричними
новится чрезвычайно актуальной. Итак,					рівняннями з	числовими невідомими
наряду с алгебраическими уравнениями					отримано різноманітні рівняння з не-
с числовыми неизвестными получены					відомими у вигляді функцій.
				54

различные уравнения с неизвестными в
виде функций.
Идеи движения и преобразования					Ідеї руху й перетворення прони-
проникают в геометрию. Был найден					кають в геометрію. Було знайдено
универсальный способ перевода графи-					універсальний спосіб перекладу гра-
ческих конструкций на язык алгебры и					фічних конструкцій на мову алгебри й
решения геометрических задач алгеб-					розв’язання геометричних задач алге-
раическими методами, что способство-					бричними	методами, що		сприяло
вало созданию аналитической геомет-					створенню	аналітичної	геометрії.
рии. Введение проективных преобразо-					Уведення	проективних	перетворень
ваний геометрических			фигур создало		геометричних фігур створило переду-
предпосылки для формирования проек-					мови для	формування	проективної
тивной геометрии. Известные матема-					геометрії.	Відомі	математики
тики	Ж.	Д’Аламбер	(1717−1783) и		Ж. Д’Аламбер (1717–1783) і Л. Ейлер
Л. Эйлер (1707−1783) почти одновре-					(1707–1783) майже одночасно й неза-
менно и независимо доказали «основ-					лежно довели «основну теорему алге-
ную теорему алгебры» о существова-					бри» про існування для будь-якого ал-
нии для любого алгебраического урав-					гебричного рівняння хоча б одного
нения хотя бы одного корня. Попытки					кореня. Спроби реального відобра-
реального		отражения	действительного		ження дійсного світу привели до поя-
мира привели к появлению новых по-					ви нових понять, які не вкладаються в
нятий, не укладывающихся в формаль-					формально-логічні вимоги колишніх
но-логические требования прежних ма-					математичних основ. Наприклад, по-
тематических основ. К примеру, поня-					няття похідної виникло завдяки ба-
тие производной появилось благодаря					жанню відобразити за допомогою ма-
желанию отразить с помощью матема-					тематичних	засобів фізичне		поняття
тических		средств физическое понятие			швидкості в механіці.
скорости в механике.
В XVII в. в естествознании сфор-					У XVII ст. у природознавстві сфо-
мировались устойчивые отражения по-					рмувалися стійкі відображення пізна-
знанных		закономерностей		отдельных	них закономірностей окремих природ-
природных явлений с помощью мате-					них явищ за допомогою математично
матически сформулированных законов					сформульованих законів природи. Спо-
природы. Наблюдается процесс созда-					стерігається процес створення матема-
ния	математического		естествознания.		тичного природознавства. Так, у меха-
Так, в механике Г. Галилей открывает					ніці Г. Галілей відкриває закони падін-
законы падения тел, Н. Кеплер – законы					ня тіл, Н. Кеплер – закони руху планет,
движения планет, И. Ньютон − закон					І. Ньютон − закон всесвітнього тяжін-
всемирного тяготения. В оптике Г. Га-					ня. В оптиці Г. Галілей і Н. Кеплер бу-
лилей и Н. Кеплер строят первые зри-					дують перші зорові труби, І. Ньютон
тельные трубы, И. Ньютон развивает					розвиває оптичні уявлення на основі
оптические представления				на основе	корпускулярної теорії, Х. Гюйгенс і
корпускулярной теории, Х. Гюйгенс и					Р. Гук – з допомогою хвильової теорії.

55

Р. Гук – с помощью волновой теории. Новые математические проблемы

настойчиво выдвигают навигация, картография, баллистика, гидравлика. Благодаря тесной связи с естествознанием, а также с насущными запросами практической деятельности людей математика в XVII веке смогла обогатиться новыми глубокими идеями, средствами исследования и существенно подняться в своем развитии. Следует упомянуть об открытии в последней трети XVII в. дифференциального и интегрального исчисления. К открытию причастны Г. Лейбниц, И. Ньютон, Я. Бернулли, И. Бернулли, Г. Лопиталь и др. Настойчивое желание механизировать рутинные математические расчетные работы привело к созданию первых счетных машин В. Шиккардом (1623 г.), Б. Паскалем (1641 г.) и Г. Лейбницем (1674 г.), которые не получили в этот период широкой поддержки в научных и инженерных кругах.

Если в XVII в. виднейшие математики занимались философией, физикой и другими областями знания, то в XVIII в. научная работа математика становится самостоятельной профессией. При этом математическое естествознание и различные технические приложения остаются в сфере интересов математиков. Так, Л. Эйлер занимается вопросами кораблестроения и оптики, Ж. Лагранж формирует базу аналитической механики, П. Лаплас занимается задачами астрономии и физики. Математика пополняется новыми значительными результатами. Так, теория чисел формируется в самостоятельный раздел математики благодаря трудам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и А. Лежандра. Г. Крамер, занимаясь алгебраическими исследованиями, ввел определители для решения

Нові математичні проблеми наполегливо висувають навігація, картографія, балістика, гідравліка. Завдяки тісному зв'язку з природознавством, а також з насущними запитами практичної діяльності людей математика в XVII столітті змогла збагатитися новими глибокими ідеями, засобами дослідження й істотно піднятися в своєму розвитку. Слід згадати про відкриття в останній третині XVII ст. диференціального й інтегрального числення. До відкриття причетні Г. Лейбніц, І. Ньютон, Я. Бернуллі, І. Бернуллі, Г. Лопіталь та ін. Наполегливе бажання механізувати рутинні математичні розрахункові роботи привело до створення перших лічильних машин В. Шиккардом (1623 р.), Б. Паскалем (1641 р.) і Г. Лейбніцем (1674 р.), які не отримали в цей період широкої підтримки в наукових та інженерних колах.

Якщо в XVII ст. найвизначніші математики займалися філософією, фізикою та іншими областями знання, то в XVIII ст. наукова робота математика стає самостійною професією. При цьому математичне природознавство й різні технічні застосування залишаються в сфері інтересів математиків. Так, Л. Ейлер займається питаннями кораблебудування й оптики, Ж. Лагранж формує базу аналітичної механіки, П. Лаплас займається задачами астрономії та фізики. Математика поповнюється новими значними результатами. Так, теорія чисел формується в самостійний розділ математики завдяки працям Л. Ей-

лера, Ж.	Лагранжа	і	А. Лежандра.
Г. Крамер,	займаючись		алгебричними
дослідженнями, увів		визначники для
розв’язання систем		лінійних рівнянь.

56

систем

линейных

уравнений. Ж. Д'Аламбер, Л. Ейлер, Г. Монж,

Ж.Д’Аламбер, Л. Эйлер, Г. Монж, Ж. Лагранж і Б. Паскаль сформували

Ж.Лагранж и Б. Паскаль сформировали основи загальної теорії диференціальосновы общей теории дифференциальних рівнянь із частинними похідними ных уравнений с частными производпершого й другого порядків. Новий роными первого и второго порядков. Нозділ математики – варіаційне числення вый раздел математики – вариационное − створюють Л. Ейлер і Ж. Лагранж,

исчисление −		создают	Л.	Эйлер и	основи	теорії ймовірності формують
Ж. Лагранж, основы теории вероятности					Я. Бернуллі, А. Муавр і П. Лаплас. За-
формируют Я. Бернулли, А. Муавр и					вдяки	працям		І.	Ламберта	і
П. Лаплас. Благодаря трудам И. Ламбер-					Г. Монжа нарисна геометрія набуває
та и Г. Монжа начертательная геометрия					«громадянства» у «державі математи-
приобретает «гражданство» в «государ-					ки». XVIII ст. стало дуже плідним за
стве математики». XVIII в. оказался					широтою робіт та отриманими резуль-
очень плодотворным по размаху работ и					татами порівняно з попередніми періо-
полученным результатам по сравнению					дами розвитку математики.
с предыдущими периодами				развития
математики.
Четвертый период в развитии ма-					Четвертий період у розвитку мате-
тематики, по А. Н. Колмогорову, – это					матики, за А. М. Колмогоровим, – це
период	современной		математики		період		сучасної		математики
(XIX–XX вв.). В этот период связь ма-					(XIX–XX ст.). У цей період зв'язок ма-
тематики с естествознанием не ослабе-					тематики з природознавством не слаб-
вает, а приобретает новые формы тес-					шає, а набуває нових форм тісної взає-
ного взаимодействия. Новые направле-					модії. Нові напрями й результати вини-
ния и результаты появляются не только					кають не тільки внаслідок вирішення
вследствие решения актуальных задач					актуальних		завдань природознавства
естествознания или техники, но и при					або техніки, а й при розв’язанні супе-
разрешении противоречий внутри са-					речностей усередині самої математики.
мой математики. К примеру, создание					Наприклад,		створення		теорії функції
теории функции комплексного пере-					комплексної змінної було обумовлено
менного было обусловлено внутренней					внутрішньою потребою				математики	у
потребностью математики в связи с					зв'язку з тим, що перехід у комплексну
тем, что переход в комплексную об-					область давав змогу більш ефективно
ласть позволял более эффективно ис-					досліджувати властивості функцій,					а
следовать свойства функций, а также					також здійснювати раціональні перет-
осуществлять		рациональные		преобра-	ворення. Переконливим наслідком вну-
зования.	Убедительным		следствием		трішнього розвитку математики стали
внутреннего развития математики стали					«уявна геометрія» М. І. Лобачевського
«воображаемая геометрия» Н. И. Лоба-					й теорія груп Е. Галуа. У цей період за
чевского и теория групп Э. Галуа. В					запитами механіки й фізики формують-
этот период по запросам механики и					ся основи векторного й тензорного чи-
физики формируются основы векторно-					слення. Як		з’ясувалось		згодом, ці	та

57

го и тензорного исчислений. Как оказа-			подібні до них абстрактні теорії набули
лось впоследствии, эти и подобные им			широкого й цілком конкретного засто-
абстрактные теории получили широкое			сування.
и вполне конкретное применение.
Значительное расширение предме-			Значне розширення предмета ма-
та математических исследований при-			тематичних		досліджень	спричинило
вело к появлению существенных разли-			істотні відмінності в рівнях логічнос-
чий в уровнях логичности, строгости,			ті, строгості, доказовості існуючих ре-
доказательности	существующих	ре-	зультатів. На цю обставину звернули
зультатов. На это обстоятельство обра-			увагу геніальні математики XIX сто-
тили внимание гениальные математики			ліття і зробили енергійні спроби наве-
XIX века и предприняли энергичные			дення ладу в «державі математики»
попытки наведения порядка в «госу-			[29]. Наприкінці XIX ст. ці спроби
дарстве математики» [29]. К концу			увінчалися формуванням системи ви-
XIX в. эти попытки увенчались форми-			мог (іншими словами, стандарту) до
рованием системы требований (други-			логічної точності математичних тео-
ми словами, стандарта) к логической			рій, яка грунтувалася на теоретико-
строгости математических теорий, ко-			множинній концепції. Згідно з цією
торая основывалась на теоретико-			концепцією		предметом	дослідження
множественной	концепции. Согласно		будь-якої математичної теорії є одна
этой концепции предметом исследова-			або кілька множин об'єктів, зв’язаних
ния любой математической теории яв-			між собою.		Формальні	властивості
ляется одно или несколько множеств			об'єктів і зв’язків між ними, необхідні
объектов, связанных между собой.			для побудови теорії, відображаються в
Формальные свойства объектов и свя-			формі системи аксіом, інваріантних до
зей между ними, необходимые для по-			конкретної природи об'єктів і зв’язків.
строения теории, отражаются в форме			Завдяки	високому рівню абстракції
системы аксиом, инвариантных к кон-			таку теорію можна застосувати до
кретной природе объектов и связей. В			будь-якої системи об'єктів, які відпо-
силу высокого уровня абстракции такая			відають її системі аксіом. Теоретико-
теория применима к любой системе			множинна концепція дала також мож-
объектов, удовлетворяющих ее системе			ливість цілеспрямовано проаналізува-
аксиом. Теоретико-множественная кон-			ти велику кількість різноманітних іс-
цепция дала также возможность целе-			нуючих	і потенційних математичних
направленно проанализировать		боль-	теорій і здійснити їх конструктивну
шое число разнообразных существую-			класифікацію. Уведення			теоретико-
щих и потенциальных математических			множинної		аксіоматики	дало змогу
теорий и осуществить их конструктив-			досить переконливо відображати спів-
ную классификацию. Введение теоре-			відношення між математичною теорі-
тико-множественной аксиоматики поз-			єю і дійсністю, а також своєрідність
волило достаточно убедительно отра-			математичного методу дослідження.
жать соотношение между математиче-
ской теорией и действительностью, а
также своеобразие математического
		58

метода исследования.
	В течение всего XIX века происхо-									Протягом усього XIX століття від-
дит	новое		значительное					расширение		бувається нове значне розширення за-
приложений математики. Наряду с та-										стосувань математики. Поряд з такими
кими классическими разделами физики,										класичними розділами фізики, як меха-
как механика и оптика, получают мате-										ніка й оптика, отримують математичну
матическую поддержку новые направ-										підтримку нові напрями: електродина-
ления:		электродинамика,						магнетизм,		міка, магнетизм, термодинаміка, гідро-
термодинамика, гидродинамика, балли-										динаміка, балістика та ін.
стика и др.
	В ХХ веке в «математическом гос-									У ХХ столітті в «математичній
ударстве» продолжались активные ра-										державі» продовжувалися активні ро-
боты по дальнейшему совершенствова-										боти з подальшого вдосконалення ма-
нию математической культуры на базе										тематичної культури на базі теоретико-
теоретико-множественной аксиомати-										множинної аксіоматики, створювалися
ки, создавались новые теории, такие,										нові теорії, такі, як алгебрична геомет-
как	алгебраическая геометрия,								теории	рія, теорії аналітичних, метричних, на-
аналитических,					метрических,				прибли-	ближених та інтегральних функцій, ма-
женных и интегральных функций, ма-										тематична статистика, топологія, якісна
тематическая				статистика,				топология,		теорія звичайних диференціальних рів-
качественная				теория			обыкновенных			нянь, теорія математичного моделю-
дифференциальных						уравнений,			теория	вання та ін.
математического моделирования и др.
	Интенсивный					рост	практических			Інтенсивне збільшення практичних
потребностей				обусловил				проникнове-		потреб зумовило проникнення ідей і за-
ние идей и средств математического										собів математичного моделювання у
моделирования во многие сферы прак-										багатьох сферах практичної діяльності,
тической деятельности, что способ-										що сприяло появі безлічі нових мате-
ствовало появлению множества новых										матичних теорій: алгоритмів, інформа-
математических					теорий:			алгоритмов,		ції, дослідження операцій, ігор, кібер-
информации,				исследования операций,						нетики, машинних мов, графів, коду-
игр,	кибернетики,					машинных			языков,	вання, систем, оптимального керування
графов, кодирования, систем, опти-										та ін. [30–38].
мального управления и др. [30−38].
	В	настоящее				время		наибольший		Зараз найбільший прогрес спо-
прогресс наблюдается в области ре-										стерігається в області вирішення зага-
шения общих проблем управления с										льних проблем керування з допомо-
помощью			современных					математиче-		гою сучасних математичних машин-
ских		машинных				и		аппаратно-		них та апаратно-програмних інстру-
программных						инструментальных				ментальних засобів. Цей процес дає
средств. Этот процесс позволяет фор-										змогу формувати формальну фунда-
мировать формальную фундаменталь-										ментальну основу	для автоматизації
ную основу для автоматизации многих										багатьох нових та	актуальних сфер

59

новых и актуальных сфер человече-			людської діяльності.
ской деятельности.
И в завершение. «Получать резуль-			І на завершення. «Отримувати ре-
таты, имеющие научную ценность, сво-			зультати, що мають наукову цінність,
бодный разум может, только подчиня-			вільний розум може, тільки підкоряю-
ясь суровой ответственности перед			чись суворій		відповідальності перед
природой, только следуя некой внут-			природою, тільки дотримуючись певної
ренней необходимости.			внутрішньої потреби.
Хотя	созерцательное направление		Хоча споглядальний напрям логіч-
логического анализа и не представляет			ного аналізу і не представляє всієї ма-
всей математики, оно		способствовало	тематики, він сприяв більш глибокому
более глубокому пониманию математи-			розумінню математичних фактів та їх
ческих фактов и их взаимозависимости			взаємозалежності й більш ясному воло-
и более ясному владению существом			дінню	суттю	математичних	понять.
математических понятий. Именно из			Саме з цього напряму зросла сучасна
этого направления выросла современ-			точка зору на математику як на зразок
ная точка зрения на математику как на			універсального прикладного наукового
образец	универсально	прилагаемого	методу» [39].
научного метода» [39].
Рассмотренные тенденции в разви-			Розглянуті		тенденції в	розвитку
тии материальных и идеальных моде-			матеріальних та ідеальних моделей сві-
лей свидетельствуют как о продолжа-			дчать як про розвиток наукових знань
ющемся развитии научных знаний о			про моделі й моделювання, що продо-
моделях и моделировании, так и о про-			вжується, так і про процеси інтеграції,
цессах интеграции, позволяющих пере-			що дають змогу переходити на новий
ходить на новый уровень понимания			рівень розуміння універсальності моде-
универсальности моделей как эффек-			лей як ефективного інструментального
тивного	инструментального средства		засобу	пізнання безмежно складного
познания бесконечно сложного много-			різноманіття Світу й продуктивного за-
образия Мира и продуктивного сред-			собу керування вже пізнаною його час-
ства управления познанной его частью.			тиною.

60