Методы моделирования объектов автоматического управления

f5

(

ϕ1

)

=

	m	R	2
			o
	ОАУ

;

f

6

(

ϕ1

)

=

2H	цм
a

π
cos
	2

− arcsin

a b

(1

−

cos

(

ϕ1

)

)



;

vцм =

vцмr y

vцмe

= f8

+ vцмr ;

(ϕ1)cos

vцмr (ψ)

= R				2
o						ц
r		= −Ro
; vцм
		z

+ ξ

sin	(

ψ	r
	; vцм
		x
ψ)	;	f7	(

= f7

ϕ	)
1

(ϕ1 = R

)

o

(	ψ		)
cos
cos		ϕ
(			r

;

);

f8

(

ϕ1

)

=

R		o	sin		(
ψ	max			=

ϕr );

arctg

	cos(ϕ
			r
		asin	(

)=

H0 ϕк

ξ xцм′

± ϕ	)
1

;	sin(
	; ϕк

ϕr )= 1−

= arctg ba

cos2 ϕ		r	;
	;

ν

цм0

=

M

св ст

νцм

;

νцм01

=

	M	ст	ν
		б		цм0

;

Mсв

б

=MстMсв

бст

=



cos sin

(ϕ0 (ϕ0

) )

−sin(ϕ		)
0
cos(ϕ	)
0





cos sin

(ϕ5 (ϕ5

) )

−sin(ϕ		)
5
cos(ϕ	)
5



=

cos			(		0 )				(		5 )		(	0 )		(	5 )
					ϕ		cos				ϕ	− sin		ϕ	sin		ϕ
=	sin	(			0 )	cos		(			5 )	+ cos	(	0 )	sin	(	5 )
				ϕ						ϕ				ϕ			ϕ
7) диапазон и масштаб изменения
времени:		tT				, mt					=1.

		(		0 )				(		5 )		(	0 )	(	5 )		;
−cos				ϕ		sin				ϕ	− sin	(	ϕ	cos	ϕ
	(			0 )			(			5 )			0 )	(	5 )
−sin			ϕ		sin				ϕ		+ cos		ϕ	cos	ϕ

7) діапазон і масштаб змінення часу: tT, mt =1.

131

Глава 4 ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ШАГАЮЩЕГО РОБОТА «ANI» Розділ 4

ЛІНЕАРИЗОВАНА МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ КРОКУЮЧОГО РОБОТА «ANI»

Книга природы написана на языке			Книга природи написана мовою
	математики.			математики.
Галилео Галилей (1564–1642),			Галілео Галілей (1564–1642),
итальянский физик и астроном			італійський фізик і астроном
Нелинейная	математическая мо-		Нелінійна	математична	модель
дель шагающего робота как объекта			крокуючого робота як об'єкта керуван-
управления не позволяет конструктив-			ня не дає змоги конструктивно сформу-
но сформировать математическую мо-			вати математичну модель ОАК. Для то-
дель ОАУ. Для того чтобы воспользо-			го щоб скористатися класичними засо-
ваться классическими средствами тео-			бами теорії автоматичного керування,
рии автоматического управления, не-			нелінійні математичні моделі лінеари-
линейные математические модели ли-			зують. У цьому розділі описано особ-
неаризуют. В этой главе описаны осо-			ливості графічної та аналітичної лінеа-
бенности графической и аналитической			ризації нелінійностей моделі крокуючо-
линеаризации нелинейностей		модели	го робота «ANI», а також особливості
шагающего робота «ANI», а также осо-			формування лінеаризованих інтерваль-
бенности формирования линеаризован-			них математичних моделей робота, що
ных интервальных математических мо-			відображають його малі кутові й посту-
делей робота, отражающих его малые			пальні рухи.
угловые и поступательные движения.
4.1. Графоаналитическая			4.1. Графоаналітична
линеаризация статических			лінеаризація статичних
нелинейностей			нелінейностей
Выражения	(3.4),	(3.5),	Вирази (3.4), (3.5), (3.12)–(3.14),
(3.12)–(3.14), (3.22), (3.29), (3.30)–(3.39)			(3.22), (3.29), (3.30)–(3.39) є нелінійни-
представляют собой нелинейные алгеб-			ми алгебричними й неоднорідними ди-
раические и неоднородные дифферен-			ференціальними	рівняннями	другого
циальные уравнения второго		порядка.	порядку. Аналізувати динамічні влас-
Анализировать динамические свойства			тивості робота як ОАК і синтезувати
робота как ОАУ и синтезировать зако-			закони керування рухом на основі ана-
ны управления движением на основе			літичного розв’язання системи неліній-
аналитического решения системы не-			них рівнянь доволі важко, і це		обумов-
линейных уравнений довольно трудно,			лює необхідність вирішення		завдання

132

и это	обуславливает			необходимость			лінеаризації нелінійної моделі робота.
решения задачи линеаризации нели-
нейной модели робота.
Выбор метода линеаризации осу-							Вибір методу лінеаризації здійс-
ществляется исходя из задачи, которую							нюється виходячи з завдання, яке має
должна решать система автоматическо-							вирішувати система автоматичного ке-
го управления. САУ «ANI» предназна-							рування (САК). САК «ANI» призначена
чена для обеспечения устойчивости и							для забезпечення стійкості й необхід-
требуемых показателей качества дви-							них показників якості руху центра мас
жения центра масс робота по заданной							робота за заданою траєкторією. Така
траектории.		Такая	система,			которую	система, яку можна віднести до класу
можно отнести к классу систем автома-							систем автоматичного позиціонування,
тического позиционирования, имеет не-							має кілька особливостей:
сколько особенностей:
1) положение центра масс робота							1) положення центра мас робота
относительно точки цели в каждый мо-							відносно точки цілі в кожний момент
мент времени характеризуется неопре-							часу характеризується невизначеністю,
деленностью, что			обусловлено двумя				що обумовлено двома основними фак-
основными факторами:							торами:
а ) возможностью проскальзывания							а) можливістю проковзування між
между	конечностями			и	поверхностью		кінцівками й поверхнею руху, що зале-
движения, что зависит от рельефа по-							жить від рельєфу поверхні, її шорсткос-
верхности, её шероховатости и матери-							ті й матеріалу, з якого виготовлено кін-
ала, из которого изготовлены конечнос-							цівки;
ти;
б) использованием видеокамеры в							б)		використанням відеокамери як
качестве датчика взаимного положения							датчика взаємного положення крокую-
шагающего робота и цели, точность ко-							чого робота й цілі, точність якого зале-
торого зависит от оптических свойств							жить від оптичних властивостей атмос-
атмосферы и уровня освещенности;							фери й рівня освітленості;
2)	линеаризованная				математиче-		2) лінеаризована математична мо-
ская модель подобной системы должна							дель подібної системи має описувати
описывать		основные			динамические		основні динамічні властивості робота у
свойства робота во всем практическом							всьому практичному діапазоні змінення
диапазоне изменения обобщенных ко-							узагальнених координат (кутів ϕ1 і ψ
ординат (углов ϕ			и	ψ	на	рис. 3.6)	на рис. 3.6) адекватно фізичному про-
		1
адекватно физическому процессу дви-							цесу руху.
жения.
Учитывать неопределенность со-							Ураховувати невизначеність стану
стояния ОАУ в линеаризованной мате-							ОАК	в	лінеаризованій математичній
матической модели целесообразно при							моделі доцільно при переході до інтер-
переходе к интервальным значениям её							вальних значень її параметрів. Межі ін-
параметров. Границы интервалов могут							тервалів можуть бути визначені шля-
быть определены			путем		комплексной		хом	комплексної лінеаризації статич-

133

линеаризации статических и динамиче-

них і динамічних нелінійностей у поча-

ских нелинейностей в исходных нели-

ткових нелінійних рівняннях.

нейных уравнениях.

Статические нелинейности в нели-

Статичні нелінійності в нелінійній

нейной модели представлены функция-

моделі

подано

функціями

A(ϕ )

,

A(ϕ1),

(ϕ1),

f3 (ϕ1),

(ϕ1),

1

ми

f2

f4

f2

(ϕ1)

,

f3

(ϕ1)

,

f4 (

ϕ1),

f5 (ϕ1), f6 (ϕ1),

(ϕ1),

(ϕ1),

f7 (ϕ1), f8 (ϕ1)

, fv (ϕ1)

f5

f6

f7

(ϕ1)

,

f8

(ϕ1)

,

fv (

ϕ1)

і ξ

(ϕ1), форма-

ξ

(ϕ

),

и

формальный

вид

которых

льний вигляд яких визначається геоме-

1

определяется геометрическими особен-

тричними

особливостями

механічної

ностями механической части ОАУ. Вы-

частини ОАК. Вирази цих функцій да-

ражения этих функций позволяют ана-

ють змогу аналітично визначити їх по-

литически определить их производные

хідні за узагальненою координатою ϕ1

,

по обобщенной координате ϕ1 , а гра-

а графічним способом – найбільші й

фическим способом – наибольшие и

найменші значення похідних у всьому

наименьшие значения производных во

робочому діапазоні, а також діапазони

всем рабочем диапазоне, а также диапа-

лінеаризації в точках графіків функцій,

зоны линеаризации в точках графиков

які відповідають цим значенням.

функций, соответствующих этим зна-

чениям.

Диапазоны

линеаризации,

ограни-

Діапазони лінеаризації, що обме-

чивающие

касательные

указанных

жують

дотичні

зазначених

функцій,

функций, устанавливаются на основа-

установлюються на основі максимально

нии

максимальной

допустимой

по-

допустимої

похибки

грешности

δ	max	=

	max	100
	y
	max

%

,

где

δ	max	=

	max	100
	y
	max

%

, де

max

– макси-

max

− максимальная абсолютная помальна абсолютна похибка, а

ymax

–

грешность, а

y

max

– весь

диапазон

весь діапазон змінення

досліджуваної

функції. Значення

визначається

изменения исследуемой функции. Зна-

max

чение

max

определяется

величиной

величиною

максимально

допустимої

максимальной

допустимой

погрешно-

похибки δmax = 5 %.

сти

δmax

= 5 %.

Вид

функций

A(ϕ1)

,

f2

(

ϕ1),

Вигляд

функцій

A(

ϕ1),

f2

(ϕ1),

f3

(ϕ1),

f4 (

ϕ1),

f5 (ϕ1),

f6

(

ϕ1),

f3

(ϕ1), f4 (ϕ1),

f5 (ϕ1),

f6

(ϕ1),

f7

(ϕ1),

f7

(ϕ1),

f8 (ϕ1), fv (ϕ1),

ξ(ϕ1)

и

их

f8

(ϕ1), fv (ϕ1),

ξ(ϕ1)

та їх похідних

производных при изменении обобщен-

при зміненні узагальненої координати в

ной

координаты

в

диапазоне

діапазоні ϕ = 0...60

а також результа-

ϕ1 = 0...60 , а также результаты графо-

1

ти графоаналітичної лінеаризації зо-

аналитической линеаризации представ-

бражено на рис. 4.1–4.11.

лены на рис. 4.1–4.11.

134

а

б

Рис. 4.1. Функция A(ϕ1):

a – графическая линеаризация;

dA

б – график производной dϕ1

Атрибуты линеаризации графика функции A = A(ϕ1):

1) максимальная погрешность линеаризации:

Рис. 4.1. Функція A(ϕ1): a – графічна лінеаризація;

dA

б – графік похідної dϕ1

Атрибути лінеаризації графіка функції A = A(ϕ1):

1) максимальна похибка лінеаризації:

δ

max

=

max Amax

100 % = 5%;

2)	координаты рабочих точек:
	р.т.: {0; 4,53 10	−3
		}
		1
3)	диапазон линеаризации по

обобщенной координате:

2)координати робочих точок:

;р.т.: {1,05; 4,35 10−3}2;

3)діапазон лінеаризації за узагальненою координатою:

Δϕ1max =1,05 рад;

135

4) диапазон линеаризации по зна-	4) діапазон лінеаризації за значен-
чениям функции:	нями функції:

A	max	= 510	−4

5) коэффициент пропорционально-

сти:

кг·м2;

5) коефіцієнт пропорційності:

K	A	=

A	= −2,6510	−4	; 0
ϕ
1

кг·м2/рад;

6) линеаризованное уравнение:

6) лінеаризоване рівняння:

7) масштаб времени:

mt

=

1

.

A = KA

ϕ1

;

7) масштаб часу:

m

t

=

1

.

а

			б
Рис. 4.2. Функция f2 (ϕ1):			Рис. 4.2. Функція f2 (ϕ1):
a – графическая линеаризация;			a – графічна лінеаризація;
б – график производной	df2		б – графік похідної	df2
	dϕ			dϕ
1				1

136

Атрибуты функции f2 = f2

линеаризации графика	Атрибути лінеаризації графіка фу-
(ϕ1):	нкції f2 = f2 (ϕ1):

1) максимальная погрешность ли-	1) максимальна похибка лінеари-
неаризации:	зації:

	δ	max	=	max	100 %
				f
				2max

=

5%

;

2) координаты рабочих точек:

р.т.: {0; 0}	; р.т.:
1

2) координати робочих точок:

{1,05; −1,0510	−4	}	;
		2

3) диапазон линеаризации по	3) діапазон лінеаризації за узагаль-
обобщенной координате:	неною координатою:

Δϕ1max

=1,05

рад;

4) диапазон линеаризации по зна-	4) діапазон лінеаризації за значен-
чениям функции:	нями функції:

f

2max

=

2,6

10

−4

кг·м2;

5) коэффициент пропорционально-

5) коефіцієнт пропорційності:

сти:

K	f	=
	2

f2	= −4,8 10	−4	;9,6	10	−4
ϕ
1

кг·м2/рад;

6) линеаризованное уравнение:

6) лінеаризоване рівняння:

f	= K	f
2
		2

7) масштаб времени: mt =1.

ϕ1;

7) масштаб часу: mt =1.

Атрибуты линеаризации графика					Атрибути лінеаризації графіка
функции f3 = f3 (ϕ1):					функції f3 = f3 (ϕ1):
1)	максимальная погрешность ли-				1) максимальна похибка лінеари-
неаризации:					зації:
	δ	max	=	max	100 % = 5%;
				f3max
2)	координаты рабочих точек:				2) координати робочих точок:

р.т.:

{	}
0;1		1

; р.т.:

{1,05;

}
0,395	2

;

137

а

б

Рис. 4.3. Функция f3

(ϕ1):

a – графическая линеаризация;

б – график производной df3 dϕ1

3) диапазон линеаризации по обобщенной координате:

Рис. 4.3. Функція f3

(ϕ1):

a – графічна лінеаризація;

б – графік похідної df3 dϕ1

3) діапазон лінеаризації за узагальненою координатою:

	Δϕ1max =1,05 рад;
4)	диапазон линеаризации по зна-	4)	діапазон лінеаризації за значен-
чениям функции:		нями функції:
	f3max = 0,59;
5)	коэффициент пропорциональности:	5)	коефіцієнт пропорційності:
	138

K	f	=
	3

f3 ϕ1

=

[

−0,66;

−

0,48

]

рад	−1

;

6) линеаризованное уравнение:

f3

=

K

f3

6) лінеаризоване рівняння:

ϕ1

;

7) масштаб времени: mt =1.

Рис. 4.4. Функция f4 (ϕ1): a – графическая линеаризация;

б – график производной df4 dϕ1

Атрибуты линеаризации графика функции f4 = f4 (ϕ1):

1) максимальная погрешность линеаризации:

7) масштаб часу: mt =1.

а

б

Рис. 4.4. Функція f4 (ϕ1): a – графічна лінеаризація;

б – графік похідної df4 dϕ1

Атрибути лінеаризації графіка функції f4 = f4 (ϕ1):

1) максимальна похибка лінеаризації:

139

	δ	max	=	max
				f
				4max

100 %

=

5%

;

2) координаты рабочих точек:

2) координати робочих точок:

р.т.:

{	}
0;1		1

; р.т.:

{1,05;

}
0,395	2

;

3) диапазон линеаризации по обобщенной координате:

Δϕ1max

4) диапазон линеаризации по значениям функции:

=

3) діапазон лінеаризації за узагальненою координатою:

1,05 рад;

4) діапазон лінеаризації за значеннями функції:

f

4max

=

7,3

10

−4

м2/рад;

5) коэффициент пропорциональности:

5) коефіцієнт пропорційності:

K	f	=
	4

f	= −2 10	−3	;2,1 10	−3
4
ϕ
1

м2/рад2;

6) линеаризованное уравнение:

6) лінеаризоване рівняння:

7) масштаб времени:

m

t

=

1

.

f4

=

K

f

4

ϕ1

;

7) масштаб часу:

m

t

=

1

.

Атрибуты линеаризации графика

функции f5 = f5

(ϕ1):

1) максимальная погрешность линеаризации:

Атрибути лінеаризації графіка фу-

нкції f5 = f5

(ϕ1):

1) максимальна похибка лінеаризації:

	δ	max	=	max	100 %
				f
				5max

=

5%

;

2)	координаты рабочих точек:
	р.т.: {0; 4,4 10	−3	}
			1
3)	диапазон линеаризации по

обобщенной координате:

2) координати робочих точок:

; р.т.: {1,05; 5,16 10	−3	;
	}
	2

3) діапазон лінеаризації за узагальненою координатою:

Δϕ1max

=1,05

рад;

4) диапазон линеаризации по зна-	4) діапазон лінеаризації за значен-
чениям функции:	нями функції:

f5max = 7,8 10−4 м2;

140