Методы моделирования объектов автоматического управления

где

Mc23

=

M

де

c2	+ M .
	c3

4.2. Аналитическая линеаризация	4.2. Аналітична лінеаризація
динамических нелинейностей	динамічних нелінійностей
Линеаризованную математическую	Лінеаризовану математичну мо-
модель движения робота получим,	дель руху робота отримаємо, застосува-
применив к уравнениям (4.1) – (4.6),	вши до рівнянь (4.1) – (4.6), (4.9), (4.10)
(4.9), (4.10) разложение в ряд Тейлора	розвинення в ряд Тейлора за першими
по первым производным, для чего за-	похідними, для чого запишемо ці рів-
пишем эти уравнения в трансцендент-	няння в трансцендентній формі:
ной форме:

F = A(ϕ )		(	)		2		2
					4	1	−
1	1

−f3

(

ϕ1

)

(

Mкр

−

Mc4

)

+ Mc23

=

0

;

(4.13)

F2

= f5 (

ϕ1)

Mкр

− PОАУξ(ϕ1)= 0

;

2f4

f6

1

1

(fvрт + Kf

ϕ1)

F3

e

−

0

;

= υцм

x

v

F4

r

−

(f7рт

+ Kf

ϕ1)

0

;

= υцм

x

7

F5

r

− (f8рт

+ Kf

ϕ1)

0

;

= υцм

y

8

F6

r

+ (Roрт

+ KR

ϕ1)

ψψ

0;

= υ

цм

z

F7 = υцм01 − (1− ϕ0ϕ5 )υцм

+

(ϕ5 + ϕ0 )υцм

= 0;

x

x

y

(4.14)

(4.15)

(4.16)

(4.17)

(4.18)

(4.19)

F8	= υцм01	− (ϕ5 + ϕ0 )υцм		x	− (1− ϕ0ϕ5 )υцм	= 0.
	y					y
Ряд Тейлора для выражения (4.13)					Ряд Тейлора для виразу
принимает вид			бирає вигляду

(4.20)

(4.13) на-

F	F		∂F1		(	ϕ − ϕ		+		∂F1		(	ϕ − ϕ		+		∂F1
1	10		∂ϕ1			1	10 )			∂ϕ			1	10 )			∂ψ
												0						0

		∂F				(ϕ1		)+			∂F					(Mкр − Mкр				)+
	+	1					− ϕ1				1
		∂ϕ
					0		0				∂M								0
		1										кр 0
	∂F													∂F
+	1				(Mc23 − Mc23					)+				1				(Mc4 − Mc4			),	(4.21)
∂Mc23 0								0			∂Mc4						0			0

151

где

∂F
	1		= Aрт + KA
	1		0

ϕ10

=

a11

;

	∂F
		1
		∂ϕ
			1

де

		=
		0

−f2

(

ϕ10

)(

ϕ1 0

+

)

=a12

;

∂F			= 2f	(	ϕ	)
	1
					1
	∂ψ
			0		0

	∂F			= K		1
		1			A
		∂ϕ
		1		0

		a		;
0
		13

f	2	1		2	−
	1		f	0

−Kf

3

(Mкр

0

− Mc4

)= a14

;

0

∂F

(ϕ1

)= b11

∂F

1

= −f3

;

1

∂M

0

∂M

кр

0

c4

Ряд Тейлора для выражения (4.14) принимает вид

 

	(ϕ1	)= c11		∂F
= f3			;		1		=1
				∂M
	0				c23
0							0

Ряд Тейлора для виразу бирає вигляду

= c12.

(4.14) на-

F2

F		∂F
		2
20		∂ψ
			0

(

ψ

−

ψ0

)

∂F

+2 ∂ψ



0

(

ψ

−

ψ0

)+		∂F
		2
		∂ϕ
		1		0

+

	+	∂F			(	ϕ − ϕ
			2
						1	1
			∂ϕ
							0
			1		0

где

)

	∂F
+	2
	∂M	кр

де

	0

(

Mкр

− Mкр0

)

,

(4.22)

	∂F
	2		= f
			0

(

ϕ10

)

=

a21

;

		∂F
		2
		∂ψ



0

= 2f	(	ϕ
		1
		0

)

a

22

;

		∂F					(ϕ1	)
		2		= 2f4								23 ;
		∂ϕ1	0
							0

	∂F
		2
		∂ϕ
		1

 

0

=

K

f

5

0	f	1	0
	4	0

f

6

M

кр

0

−

PОАУ

K

ξ

=

a

24

;

	∂F					(		)
	2				= −f		ϕ		= b .
∂M					6		1		21
		кр					0
				0
Ряд Тейлора для выражения (4.15)										Ряд Тейлора для виразу (4.15) на-
принимает вид										бирає вигляду

F3

F3

∂F

(υцмe

− υцмe

∂F

(ϕ1

− ϕ1

)+

+

3

x0

)+

3

0

e

x

∂ϕ

0

0

∂υцмx 0

1

152

+

где

∂F			(
3				1	1	,
∂ϕ
	1					0
			0
			де

(4.23)

	∂F
	3			=1= a31					;
∂υ
	e	x
	цм			0
				∂F
					3			=
					∂ϕ
						1		0

Ряд Тейлора для выражения (4.16) принимает вид

	∂F
			= −Kf
	3									a	32 ;
	∂ϕ1
		0				v
−fv (ϕ1			)= a33 .
		0

Ряд Тейлора для виразу (4.16) набирає вигляду

				∂F		(							)			∂F		(			)
			+				r			r
	F			4												4
F							υ		− υ					+					ϕ − ϕ			+
4	4	0		r			цм	x	цм		x								1	1
												0								0
			∂υ													∂ϕ
				цм	x	0										1		0

	+		∂F		(	ψ		),
			4				0
			∂ψ
					0

(4.24)

где

де

∂F

∂F

4

=1= a41

;

4

= −Kf

a

42 ;

0

∂υr

∂ϕ1

0

7

цмx

0

	∂F
	4
	∂ψ
			0

= −f	(	ϕ
		1
		0

)

=

a43

.

Ряд Тейлора для выражения (4.17)	Ряд Тейлора для виразу (4.17) на-
принимает вид	бирає вигляду

				∂F5
	F	F
				r
	5	50
				∂υ
				цмy

где

							∂F5		(ϕ1		)+
		r		r
		υ	− υ			+				− ϕ1
							∂ϕ
		цмy	цмy0					0		0
							1
0

	∂F		(	ψ0 ),	(4.25)
+	5
	∂ψ	0
			де

∂F

∂F

5

=1= a51;

5

= −Kf

52 ;

0

r

8

∂υ

∂ϕ1

0

цмy 0

153

		∂F
		5
		∂ψ



0

= −f	(	ϕ
		1
		0

)

=

a

53

.

Ряд Тейлора для выражения (4.18)	Ряд Тейлора для виразу (4.18) на-
принимает вид	бирає вигляду

				∂F		(							)		∂F			(			)
	F		+				r		− υ	r				+					ϕ − ϕ			+
F				6												6
							υ
6	6	0		r			цм	z	цм		z					∂ϕ			1	1
				∂υ								0
																1		0
				цмz		0

					∂F					(ψ − ψ0 )+					∂F			(			0 ),
			+			6										6										(4.26)
					∂ψ			0							∂ψ			0
где													де
			∂F										∂F
																						a
					6					=1= a61			;		6			= KRψ0 0						;
			∂υ	r										∂ϕ								62
															1		0
			цмz						0
∂F			= R				(ϕ				)				∂F					= R	(ϕ	)ψ		= a
	6					o						a		;			6						0		64	.
												0	63
									1												1
∂ψ			0							0					∂ψ				0		0
Ряд Тейлора для выражения (4.19)																Ряд Тейлора для виразу (4.19) на-
принимает вид													бирає вигляду

F	F			∂F			(	υ	− υ	)	+		∂F		(	ϕ	− ϕ		)	+
			+	7									7
7	7		∂υ					цм01	цм01				∂ϕ			0	0
		0						x	x0									0
				цм01									0		0
					x		0

∂F

(

)

∂F

(

+

7

ϕ

− ϕ

+

7

υ

− υ

5

5

цм

цм

∂ϕ

∂υ

0

0

x

x0

5

цмx

0

∂F

(υцм

),

+

− υцм

7

∂υ

y

y0

цм

y

0

где

де

∂F

∂F

7

=1= a

71

;

7

= ϕ υ

+ υ

∂υ

∂ϕ

5

цм

цм

0

0

x0

y0

цм01x

0

0

∂F

7

= ϕ0 υцм + υцм

=

a

73;

∂ϕ5 0

0

x0

y0

∂F

7

= −1

+ ϕ ϕ =

a

;

∂υ

00

50

74

цмx

0

)+

= a72 ;

(4.27)

154

	∂F
	7
	∂υ	y
	цм			0

Ряд Тейлора для выражения (4.20) принимает вид

=

ϕ0	+ ϕ5	= a75 .
0	0

Ряд Тейлора для виразу (4.20) набирає вигляду

				∂F				(			)		∂F			(				)
	F		+						υ	− υ		+					ϕ	− ϕ			+
F					8									8
8	8		∂υ						цм01	цм01				∂ϕ			0	0
		0							y	y0									0
				цм01										0		0
						y		0

∂F

(

)

∂F

(

)

+

8

ϕ

− ϕ

+

8

υ

− υ

+

5

5

цм

цм

∂ϕ

∂υ

0

0

x

x0

5

цмx

0

∂

(υцм

)

+

F

− υцм

8

,

∂υ

y

y0

цм

y

0

где

де

∂

F8

=1

= a

81

;

∂υ

цм01y

0

∂F

8

= −υцм

+ ϕ5

υцм

= a82

;

∂ϕ

x0

0

y0

0

0

(4.28)

 

	∂F
		8		=
	∂ϕ
		5		0
			∂F
				8
		∂υ
						x
				цм
			∂F
		∂υ		8
					y
			цм

−υ			+ ϕ		υ
	цм		x0	0	цм	y0
				0
		= −ϕ		− ϕ		=
			0		0
			5		0
	0
		= −1+ ϕ			ϕ	=
				0	5
				0	0
0

= a
	83
a84	;

a85.

;

4.3. Линеаризованные уравнения

4.3. Лінеаризовані рівняння

математической модели робота

математичної моделі робота

Опустив знак приращения, лине-

Випустивши символ прирощення,

аризованные уравнения (4.1)–(4.12)

лінеаризовані рівняння (4.1)–(4.12) мо-

можно записать в компактном виде:

жна записати в компактній формі:

1 = −

кр −

c4 − c12

c23;

(4.29)

b

M

M

M

a

11

1 12 1 13

14

11

c

11

155

a

21ψ

+

a

22

ψ

+

a

23ϕ1

+

a

24

ϕ1

=

−

b21M

кр

;

(4.30)

e

= −a32ϕ1 − a33

;

a31υцм

x

1

r

= −a42ϕ1

− a43

;

a41υцм

x

r

= −a52ϕ1

− a53

;

a51υцм

y

r

= −a62ϕ1 − a63ψ − a64

;

a61υцм

z

ψmax = Kψ

ϕ1;

max

(4.31)

(4.32)

(4.33)

(4.34)

(4.35)

υцм

e

r

;

x

= υ

+ υ

цм

x

цм

x

a71υцм01

= −

72ϕ0 −

73ϕ5

−

74υцм

−

75υцм

;

a

a

a

x

a

x

y

a81υцм01

= −

82ϕ0 −

83ϕ5

−

84υцм

−

85υцм

.

a

a

a

x

a

y

y

(4.36)

(4.37)

(4.38)

Коэффициенты в выражениях	Коефіцієнти у виразах (4.29)–(4.38)
(4.29)–(4.38) для начальных условий	для початкових умов

0

;

0	0	; ϕ1
		0

=

[

0,05;1,05]

рад;

ψ0

=

[

0,09;0,108]

рад;

Mкр0 = 0;

примут значения:

a11 =		4,35	10	−3	; 4,53	10	−3	;

M	c23	= M			c4	= 0
	0				0
	набудуть значень:
	a12	=		2	10	−5	; 2,6	10	−4	;

a13

=

[

0;0

]

;

a14 = [0;0];

b11

=

[

−1;

−

0,395]

;

c11 = [0,395;1];

c12

=

1

;

a

21

=

		4,4

10

−3

;

5,16

10

−3



;

a22

=

[

0;0

]

;

a

23

=

[

0;0

]

;

a

24

=

[

−0,36;

−

0,02]

;

b21

=

−0,3;

−

7,510	−4

;

a

31

=

1

;

a32

a51 a64 a75

a85

=

[

]

33

= [−0,083; − 0,016];

41

=1

42

= [0;0];

43

=

[

−0,0415; − 0,0367

]

0;0

;

a

a

; a

a

;

=1;

52 = [0;0];

53 = [−0,0728; − 0,0625];

a61 =1;

a62

= [0;0];

63 = [0;0];

a

a

a

=

7,6

10

−3

;8,8 10

−3

; a71

=1;

a72 =

[0;0];

a73 =

[0;0];

a74 =

[−1; − 0,823]

;

=

[0,527;0,865];

a

=1;

a

=

[0;0];

a

= [0;0];

=

[

−0,865; − 0,527

]

;

81

a

[

]

82

83

84

=

−1; − 0,823 .

Учитывая начальные

условия, а

Ураховуючи початкові

умови, а

также то, что моменты сопротивления

також той факт, що моменти опору є

являются статическими и

действуют

статичними і діють лише під час руху,

лишь во время движения, уравнения

рівняння (4.29)–(4.38) можна записати в

(4.29)–(4.38) можно записать в таком

такому вигляді:

виде:

11 1

M

1)McΣ ;

(4.39)

a

12 1

156

a21

ψ

+

24ϕ1 = −b21Mкр

;

a

e

= −a33

1 ;

υцм

x

r

= −a43

;

υцм

x

r

= υцм

= −a53

;

υцм

y

y

υцм

e

r

;

x

= υ

+ υ

цм

x

цм

x

υцм01

= −

74υцм

−

75υцм

;

a

x

a

y

x

υцм01

= −a84υцм

x

− a85υцм

y

,

y

где

де

McΣ =

11Mc4 + Mc23

c

– суммарный момент сопротивления.

– сумарний момент опору.

(4.40)

(4.41)

(4.42)

(4.43)

(4.44)

(4.45)

(4.46)

4.4. Линеаризованная	4.4. Лінеаризована математична
математическая модель движения	модель руху робота
робота по заданной траектории	по заданій траєкторії
Выходным сигналом ОАУ являет-	Вихідним сигналом ОАК є лінійне
ся линейное положение центра масс в	положення центра мас у базовій системі
базовой системе координат OX01Y01,	координат OX01Y01, яке можна визначи-
которое можно определить интегриро-	ти інтегруванням виразів (4.41)–(4.46):
ванием выражений (4.41)–(4.46):

		e
xцм = −a33ϕ1;
		r
	xцм = −a43ψ ;
		цм = −		53ψ;
	y		a
		e		r
xцм = xцм + xцм ;

xцм01 = −a74xцм − a75yцм ;

yцм01 = −a84xцм − a85yцм .

(4.47)

(4.48)

(4.49)

(4.50)

(4.51)

(4.52)

После преобразований в выраже-	Після	перетворень у виразах
ниях (4.47)–(4.52) получаем зависимо-	(4.47)–(4.52)	одержуємо залежності для
сти для координат центра масс:	координат центра мас:

x

цм01

= a

74

a

ϕ +

(

a

74

a

43

+ a

75

a

ψ ;

33

1

53 )

цм01 =

84

33ϕ1 + (

84

43 +

85

53 )ψ .

y

a

a

a

a

a

a

Переходя к изображениям в урав-

Переходячи

до

(4.53)

(4.54)

зображень у

157

нениях (4.39), (4.40), (4.53), (4.54), по-	рівняннях (4.39), (4.40), (4.53), (4.54),
лучаем:	отримуємо:

(a11s	2	+ a12s)Φ				(s)= −b11Mкр (s)− McΣ		(s);
					1
a21s				2	Ψ(s)+ a24Φ1(s)= −b21Mкр (s)			;
Xцм01(s)			= a74a33Φ1 (s)+ (a74a43				+ a75a53 )Ψ(s);
Yцм01(s)			= a84a33Φ1 (s)+ (a84a43				+ a85a53 )Ψ(s).

(4.55)

(4.56)

(4.57)

(4.58)

Тогда с учетом (4.55)–(4.58) ли-		Тоді з урахуванням (4.55)–(4.58)
неаризованная математическая модель		лінеаризована математична модель
ОАУ в изображениях принимает вид:		ОАК у зображеннях набирає вигляду:
1) максимальная погрешность:		1)	максимальна похибка:
δ	max	= 5 %;
2) рабочая точка:		2)	робоча точка:

xцм01рт

=

0

; yцм01рт

= 0;

Mкррт

=

0

;

McΣрт

=

0

;

	3) диапазон значений управляюще-
го	Mкр (t) [−0,08; 0,08] Н·м и возму-
щающего		McΣ (t) [0,001;0,02]	Н·м

воздействий; 4) диапазон значений управляемой

величины:

	3) діапазон значень керувального
Mкр	(t) [−0,08; 0,08] Н·м і збурюваль-
ного	McΣ (t) [0,001;0,02] Н·м впли-
вів;

4) діапазон значень керованої величини:

xцм01

(

t

)

R;

yцм01

(

t

)

R

;

5) оценочные значения параметров	5) оцінні значення параметрів мо-
модели:	делі:

Kˆ xu

Kˆ yu

=

−212.8; 6.410

4

ˆ

=

−1.9

3

5

; Kxf

10 ;1.3610

=

5

;

ˆ

=

5

; −1,04

3

454,1;8,2 10

Kyf

−4,4 10

10

ˆ 2

ˆ

2

=

−0,61;

−

210

−4

;

T

=[−5,83; 0,23]; T

1x

1y

ˆ

=

[16,7; 226,5];

T2





;

;

Tˆ3x2 =[−2,52; 0,1];

Tˆ 2 3y

=

−0,26;

−

9,5

10

−4



.

6) передаточные функции шагаю-	6) передатні функції крокуючого
щего робота как объекта управления:	робота як об’єкта керування:

158

Wxu (s)=

X

цм01

(

s

)

T

2

s

2

−1

= −Kxu

1x

;

(

)

3

(

)

кр

M

s

s

T s +1

(

)

T

2

−1

Wxf (s)=

X

цм01

s

2

s

2

= −Kxf

3x

;

M

cΣ

(s)

3

(

)

s

T s +1

(

)

2

Wyu (s)=

Y

s

T

2

s

2

−1

цм01

= −Kyu

1y

;

M

(s)

3

(

)

кр

s

T s

+1

2

Wyf (s

7) масштаб времени: mt

)= Yцм01 (s)

McΣ (s)

=1.

					2 s2			−1
				T
= −Kyf				3y					;
			s3 (				2s +1)
						T

7) масштаб часу:

m

t

=

1

.

(4.59)

(4.60)

(4.61)

(4.62)

Математическую модель исполнительного элемента можно представить в виде усилительного звена:

Математичну модель виконавчого елемента можна подати у вигляді підсилювальної ланки:

где

(

)

=

M

кр

(

s

)

=

K

иэ

s

W

s

,

(

)

иэ

U

s

T

s +1

иэ

U(s) – управляющее напряжение;

де U(s) – керувальна напруга;

Kиэ = [0,013;0,013]

Н·м/В – коэф-

Kиэ

= [0,013;0,013]

Н·м/В – кое-

фициент передачи;

Tиэ =10	−4	с – постоянная времени.

фіцієнт передачі;

Tиэ =10	−4	с – стала часу.

159

ЗАКЛЮЧЕНИЕ						ВИСНОВКИ
Учись, мой сын: наука сокращает нам				Учись, мій сину: наука скорочує нам
опыты быстротекущей жизни.				досліди швидкоплинного життя.
А. С. Пушкин (1799−1837)−						О. С. Пушкін (1799−1837)−
	родоначальник новой					родоначальник нової
	русской литературы					російської літератури
Процесс моделирования			объектов	Процес моделювання об'єктів ав-
автоматического управления − творче-				томатичного керування – творчий про-
ский процесс. Как и любой творческий				цес. Як і будь-який творчий процес, він
процесс, он не может быть полностью				не може бути повністю формалізова-
формализован. Могут быть формализо-				ний. Можуть бути формалізовані лише
ваны только отдельные фрагменты эта-				окремі фрагменти етапів методики мо-
пов методики моделирования. В учеб-				делювання. У навчальному				посібнику
ном пособии описаны особенности это-				описано	особливості цього			творчого
го творческого процесса на примерах				процесу	на	прикладах	моделювання
моделирования динамики продольного				динаміки поздовжнього руху літака й
движения самолёта и шагающего робо-				крокуючого робота «ANI».
та «ANI».
Рассмотрим	несколько		завершаю-	Розглянемо кілька			завершальних
щих рекомендаций по моделированию				рекомендацій щодо моделювання об'єк-
объектов автоматического		управления.		тів автоматичного керування. Перший
Первый этап моделирования объекта ав-				етап моделювання об'єкта автоматично-
томатического управления		начинают, в		го керування починається, у професій-
профессиональном плане, с формирова-				ному плані, з формування технічного
ния технического задания, в котором				завдання, у якому формулюють цілі й
формулируют цели и задачи моделирова-				завдання моделювання. Далі відповідно
ния. Далее в соответствии со спецификой				до специфіки об'єкта моделювання й
объекта моделирования и приведенными				наведених рекомендацій і прикладів ро-
рекомендациями и примерами разраба-				зробляють конкретну методику. Під час
тывают конкретную методику. При фор-				формування		методики	моделювання
мировании методики моделирования сле-				слід звернути увагу на можливість пе-
дует обратить внимание на проверяе-				ревірки етапів, іншими словами, на мо-
мость этапов, другими словами, на воз-				жливість	забезпечення		відповідності
можность обеспечения соответствия по-				отриманих		результатів	властивостям
лученных результатов свойствам объекта				об'єкта автоматичного			керування, що
автоматического управления, что позво-				дасть змогу підвищити якість та ефек-
лит повысить качество и эффективность				тивність технології формування мате-
технологии формирования		математиче-		матичних моделей. Бажано, щоб було
ских моделей. Желательно, чтобы была				передбачено		можливість порівняння
предусмотрена	возможность		сравнения	проміжних результатів моделювання з
			160