Методы моделирования объектов автоматического управления

Глава 2 СРЕДСТВА МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ Розділ 2

ЗАСОБИ МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ ОБ’ЄКТАМИ

Нет ничего практичнее хорошей		Немає нічого практичнішого за
	теории.				хорошу теорію.
Роберт Кирхгоф (1824−1887) −		Роберт Кірхгоф (1824−1887) −
	немецкий физик				німецький фізик
Системы автоматического управ-		Системи автоматичного керування
ления − это искусственные системные		– це штучні системні утворення з різ-
образования из разнотипных функцио-		нотипних	функціональних			елементів,
нальных элементов, решающие задачи		які вирішують завдання стабілізації й
стабилизации и позиционирования раз-		позиціонування		різних за		фізичною
личных по физической природе объек-		природою об'єктів керування. Гетеро-
тов управления. Гетерогенность этого		генність	цього	системного		утворення
системного образования обуславливает		спричиняє труднощі у формуванні аде-
трудности в формировании адекватных		кватних моделей як елементів, так і всі-
моделей как элементов, так и всей си-		єї системи в цілому. У цьому розділі
стемы в целом. В этой главе рассматри-		розглядаються		особливості		традицій-
ваются особенности традиционных мо-		них моделей та їх зв'язки. Більш повний
делей и их связи. Более полное фор-		формальний опис			перетворювальних
мальное описание преобразовательных		властивостей систем автоматичного ке-
свойств систем автоматического управ-		рування можна отримати з допомогою
ления можно получить с помощью ла-		лагранжева формалізму. Розглядаються
гранжева формализма. Рассматривают-		особливості використання рівнянь Лаг-
ся особенности использования уравне-		ранжа другого роду для формування
ний Лагранжа второго рода для форми-		диференціальних			рівнянь	динаміки
рования дифференциальных уравнений		об'єктів автоматичного керування.
динамики	объектов автоматического
управления.
2.1. Понятие о замкнутых системах		2.1. Поняття про замкнені системи
автоматического управления		автоматичного керування
Извечное противоречие в социаль-		Одвічна суперечність у соціаль-
ном мире между растущими потребно-		ному світі між потребами, що зроста-
стями и	ограниченными ресурсными	ють, та обмеженими ресурсними мож-
возможностями на всех этапах развития		ливостями на всіх етапах розвитку
человечества решалось посредством по-		людства вирішувалася шляхом підви-

61

вышения производительности труда. На современном этапе развития цивилизации компромиссным решением этой проблемы является автоматизация механических и интеллектуальных функций производителей материальных благ и услуг. Технический результат автоматизации − это системы автоматического управления объектами различной физической природы, выполняющие требуемые разнообразные функции без участия человека.

В самом общем случае типовую систему автоматического управления для мобильных объектов можно представить графической моделью, состоящей из двух подсистем (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Обобщенная функциональная схема системы автоматического управления мобильными объектами

Приведём используемые аббревиатуры и связи:

щення продуктивності праці. На сучасному етапі розвитку цивілізації компромісним вирішенням цієї проблеми є автоматизація механічних та інтелектуальних функцій виробників матеріальних благ і послуг. Технічний результат автоматизації – це системи автоматичного керування об'єктами різної фізичної природи, які виконують необхідні різноманітні функції без участі людини.

У загальному випадку типову систему автоматичного керування для мобільних об'єктів можна подати графічною моделлю, що складається з двох підсистем (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Узагальнена функціональна схема системи автоматичного керування мобільними об’єктами

Наведемо застосовувані абревіатури і зв’язки:

62

	МОУ − мобильный объект управления;				МОК − мобільний об’єкт керування;
	БИО − блок исполнительных органов;				БВО − блок виконавчих органів;
	БДИ − блок датчиковых измерителей;				БДВ − блок датчикових вимірювачів;
	БВМ − бортовая вычислительная ма-				БОМ − бортова обчислювальна маши-
	шина;				на;
	БСО − блок сопряжения с объектом;				БСО − блок сполучення з об’єктом;
	m(t) −	механические	воздействия	на	m(t) − механічні впливи на МОК;
	МОУ;				ρ(t) − реакція МОК на впливи;
	ρ(t) − реакция МОУ на воздействия;				u(t) − керувальні впливи на БВО;
	u(t) −	управляющие	воздействия	на	y(t) − результати вимірювань;
	БИО;				y(kT0) − цифровий сигнал вимірювань;
	y(t) − результаты измерений;				T0− період квантування;
	y(kT0)	− цифровой сигнал измерений;
					k − номер дискрети, k =1,n;
	T0− период квантования;
					u(kT0) − цифровий сигнал керувальних
	k− номер дискреты, k =1,n;
					впливів;
		− цифровой сигнал управляю-
	u(kT )				yз(kT0) − заданий цифровий керуваль-
	0
	щих воздействий;				ний вплив;
	yз(kT0) − заданное цифровое управля-
					fi(t), i =1,3− збурювальний вплив;
	ющее воздействие;
					Еi(t), i =1,6− підвідна енергія.
	fi(t), i =1,3− возмущающие воздей-
	ствия;
	Эi(t), i =1,6 − подводимая энергия.
	Итак, первая подсистема − объект				Отже, перша підсистема − об’єкт
	автоматического управления − включа-				автоматичного керування − складається
	ет в себя БИО, МОУ и БДИ со своими				з БВО, МОК і БДВ зі своїми зв’язками.
	связями. Вторая подсистема − устрой-				Друга підсистема − пристрій автомати-
	ство автоматического управления − со-				чного керування − складається з БОМ і
	стоит из БВМ и двух БСО, обеспечива-				двох БСО, що забезпечують комуніка-
	ющих	коммуникацию	непрерывных	и	цію безперервних і дискретних сигна-
	дискретных сигналов. Подсистемы со-				лів. Підсистеми з’єднано відповідно до
	единены в соответствии с принципом				принципу керування за	відхиленням,
	управления по отклонению, что позво-				що дає змогу формувати сигнал керу-
	ляет формировать сигнал управления				вання
			u(kT0) = φ[yз(kT0)- y(kT0)]			(2.1)

в общем случае как нелинейную функцию от разности задаваемого и текущего значений соответствующих сигналов. Такое формирование сигнала про-

в загальному випадку як нелінійну функцію від різниці задаваного й поточного значень відповідних сигналів. Таке формування сигналу відбувається в

63

исходит в замкнутом контуре управле-				замкненому контурі керування, де цир-
ния, где	циркулируют		управляемые	кулюють керовані енергія й сигнали.
энергия и сигналы.
На рис. 2.2 изображено размеще-				На рис. 2.2 зображено розміщення
ние основных функциональных элемен-				основних функціональних елементів
тов системы автоматического управле-				системи автоматичного керування ку-
ния угловым положением беспилотного				товим положенням безпілотного літа-
летательного аппарата. Из рис. 2.2 вид-				льного апарата. З рис. 2.2 видно, що
но, что объект автоматического управ-				об'єкт автоматичного керування є прос-
ления представляет собой простран-				торово розподіленою, багатозв'язною,
ственно	распределённую,		многосвяз-	гетерогенною підсистемою механічних
ную, гетерогенную подсистему меха-				та електромеханічних пристроїв.
нических	и	электромеханических
устройств.

Рис. 2.2. Упрощенная схема	Рис. 2.2. Спрощена схема розміщення
размещения функциональных блоков	функціональних блоків бортової
бортовой системы управления	системи керування
Под объектом автоматического	Під об'єктом автоматичного керу-
управления (ОАУ) понимается подси-	вання (ОАК) розуміють підсистему з

64

стема из функциональных блоков БИО,								функціональних блоків БВО, МОК і
МОУ и БДИ, сформированная таким								БДВ, сформовану таким чином, що ви-
образом, что выполняются следующие								конуються такі умови:
условия:
	1) управляемость: сигнал управле-							1) керованість: сигнал керування
ния	позволяет		переводить		подсистему			дає змогу переводити підсистему з од-
из одного состояния в другое за конеч-								ного стану в інший за скінченний час;
ное время;
	2) наблюдаемость: переход подси-							2) спостережуваність: перехід під-
стемы из одного состояния в другое								системи з одного стану в інший можна
можно отслеживать путем измерений.								відслідковувати шляхом вимірювань.
	Под устройством автоматического							Під пристроєм автоматичного ке-
управления		(УАУ)		будем		понимать		рування (ПАК) будемо розуміти підси-
подсистему, сформированную из							двух	стему, сформовану з двох функціона-
функциональных блоков БСО и БВМ								льних блоків БСО і БОМ таким чином,
таким образом, что выполняются усло-								що виконуються умови:
вия:
	1) на вход подсистемы поступают							1) на вхід підсистеми надходять
задающий сигнал и сигналы измерений,								задавальний сигнал і сигнали вимірю-
преобразующиеся с помощью алгорит-								вань, які перетворюються за допомо-
мов и программ в выходной сигнал								гою алгоритмів і програм на вихідний
управления;								сигнал керування;
	2) выходной сигнал				управления			2) вихідний сигнал керування пе-
переводит ОАУ из одного состояния в								реводить ОАК з одного стану в інший
другое так, что выполняются заданные								так, що виконуються задані вимоги до
требования к работоспособности си-								роботоздатності системи автоматично-
стемы автоматического управления.								го керування.
	Необходимое условие правильного							Необхідна	умова	правильного
функционирования замкнутого контура								функціонування	замкненого контуру
управления заключается в обеспечении								керування полягає в		забезпеченні
устойчивости			преобразования энергии					стійкості перетворення енергії й інфо-
и информации. Достаточное						условие		рмації. Достатня	умова	правильного
правильного функционирования состо-								функціонування полягає в забезпе-
ит в обеспечении требуемых показате-								ченні необхідних показників якості:
лей	качества:		времени		переходного			часу перехідного процесу, перерегу-
процесса, перерегулирования и точно-								лювання й точності. Необхідна й дос-
сти. Необходимое и достаточное усло-								татня умови функціонування, тобто
вия функционирования, т. е. работоспо-								роботоздатності,	являють собою, по
собности, представляют собой, по сути,								суті, суперечливі вимоги для замкне-
противоречивые требования для за-								ного контуру керування. Так, забезпе-
мкнутого контура				управления.			Так,	чення більш високих запасів стійкості
обеспечение		более		высоких		запасов		за амплітудою й фазою призводить до
устойчивости по амплитуде и фазе при-								погіршення показників якості. Забез-
водит к ухудшению показателей каче-								печення більш	високих	показників

65

ства. Обеспечение более высоких пока-									якості функціонування спричиняє по-
зателей	качества			функционирования					гіршення запасів стійкості замкненого
приводит к ухудшению запасов устой-									контуру. Розумний та обґрунтований
чивости замкнутого контура. Разумный									компроміс між такими суперечливими
и обоснованный компромисс между та-									умовами є можливим тільки з викори-
кими	противоречивыми						условиями		станням формалізованих уявлень про
возможен		только		с	использованием				процеси перетворення енергії та інфо-
формализованных				представлений				о	рмації за допомогою різних взаємоз-
процессах		преобразования				энергии		и	в'язаних моделей.
информации с			помощью				различных
взаимосвязанных моделей.
Нелинейный				характер			процессов		Нелінійний характер процесів пе-
преобразования энергии и информации									ретворення енергії й інформації в фун-
в функциональных элементах системы									кціональних елементах системи керу-
управления		усложняет				технологию			вання ускладнює технологію форму-
формирования графических и матема-									вання графічних і математичних моде-
тических моделей, с помощью которых									лей, за допомогою яких можна вирішу-
можно решать задачи синтеза цифро-									вати завдання синтезу цифрових алго-
вых алгоритмов управления ОАУ. Тра-									ритмів керування ОАК. Традиційно на
диционно на этапах эскизного проекти-									етапах ескізного проектування систем
рования		систем			автоматического				автоматичного керування мобільними
управления мобильными объектами ис-									об'єктами використовуються відомі за-
пользуются известные законы динами-									кони динаміки, застосування яких при-
ки, что приводит к получению нели-									водить до отримання нелінійних дифе-
нейных дифференциальных уравнений.									ренціальних рівнянь. Для того щоб мо-
Для того чтобы можно было манипули-									жна було маніпулювати отриманими
ровать полученными формализованны-									формалізованими описами, їх лінеари-
ми описаниями, их линеаризуют с по-									зують за допомогою графічних та ана-
мощью	графических				и аналитических				літичних засобів. Така технологія дає
средств.	Такая		технология				позволяет		змогу отримати наближені лінійні ма-
получить приближенные линейные ма-									тематичні конструкції, придатні для лі-
тематические			конструкции,				которые		нійних перетворень, що використову-
пригодны для линейных преобразова-									ються при розв’язанні задач синтезу
ний, используемых при решении задач									для формування алгоритмів стабілізації
синтеза для формирования алгоритмов									і позиціонування мобільних об'єктів ке-
стабилизации и позиционирования мо-									рування.
бильных объектов управления.
2.2. Принципы математического									2.2. Принципи математичного
моделирования объектов									моделювання об’єктів
автоматического управления									автоматичного керування
При разработке систем автомати-									При розробленні систем автомати-
ческого	управления				конструктивную,				чного керування конструктивну, осно-

66

основополагающую		и	значительную			воположну і значну роль відіграють
роль	играют математические				модели	математичні моделі ОАК. Сформуємо
ОАУ. Сформируем общее представле-						загальне уявлення про	математичну
ние о математической модели. Для ана-						модель. Для аналітичного дослідження
литического исследования				совокупно-		сукупності s властивостей ОАК форму-
сти s свойств ОАУ формируется мате-						ється математичний об'єкт М, який є
матический объект М, представляющий						сукупністю алгебричних,	диференціа-
собой	совокупность		алгебраических,			льних, логічних рівнянь і з допомогою
дифференциальных,		логических урав-				якого можна отримати відповіді про
нений и с помощью которого можно						властивості ОАК. Математичний об'єкт
получить ответы о свойствах ОАУ. Ма-						М називають математичною моделлю
тематический объект М называется ма-						ОАК щодо властивостей s.
тематической моделью ОАУ относи-
тельно свойств s.
Математическая			модель		ОАУ	Математична модель ОАК має за-
должна удовлетворять таким требова-						довольняти такі вимоги: адекватність,
ниям: адекватность, простота, полнота,						простота, повнота, продуктивність, ро-
продуктивность, робастность и нагляд-						бастність і наочність.
ность.
Адекватность − это степень соот-						Адекватність – це ступінь відпо-
ветствия свойств		модели		свойствам		відності властивостей моделі властиво-
ОАУ с точки зрения поставленной це-						стям ОАК з огляду на поставлену мету.
ли. Другими словами, математическая						Іншими словами, математична модель
модель должна с заданной точностью						має із заданою точністю відображати
отражать исследуемые свойства ОАУ.						досліджувані властивості ОАК.
Простота модели по отношению						Простота моделі	щодо ОАК
к ОАУ означает упрощенное представ-						означає спрощене подання властивос-
ление свойств ОАУ при сохранении						тей ОАК при збереженні адекватності.
адекватности. Это позволяет экономить						Це дає змогу економити ресурси на до-
ресурсы на исследование свойств с за-						слідження властивостей із заданою то-
данной точностью.						чністю.
Полнота модели состоит в том,						Повнота моделі полягає в тому,
что модель даёт принципиальную воз-						що модель дає принципову можливість
можность математически получить от-						математично отримати відповіді на за-
веты на вопросы о свойствах ОАУ.						питання про властивості ОАК.
Продуктивность			модели		означа-	Продуктивність моделі означає,
ет, что все исходные данные для неё −						що всі вихідні дані для неї – параметри,
параметры, которые могут быть полу-						які можуть бути отримані й виміряні з
чены и измерены с достаточной степе-						достатнім ступенем точності.
нью точности.
Робастность модели − это её						Робастність моделі – це її стій-
устойчивость к погрешностям исход-						кість до похибок вихідних даних. Ви-
ных данных. Исходные данные изме-						хідні дані вимірюються з похибкою й
ряются с погрешностью и рассчитыва-						розраховуються зі скінченною точні-

67

ются с конечной точностью, но это об-								стю, але ця обставина не повинна
стоятельство не должно оказывать су-								істотно впливати на результати моде-
щественного		влияния		на	результаты			лювання.
моделирования.
Наглядность означает ясный, со-								Наочність означає ясний, змісто-
держательный смысл параметров моде-								вний сенс параметрів моделі, що дає
ли, что даёт возможность проверить ка-								можливість перевірити якість моделі,
чество модели, выбрать рациональный								вибрати раціональний метод дослі-
метод исследования и предвидеть ожи-								дження й передбачити очікувані ре-
даемые результаты исследования.								зультати дослідження.
Описанные			требования			зачастую		Описані вимоги часто бувають су-
оказываются		противоречивыми.					По-	перечливими. Тому процес моделюван-
этому процесс моделирования − это								ня – це творча діяльність, яка не може
творческая	деятельность,				которая		не	бути повністю формалізована. Накопи-
может быть полностью формализована.								чений досвід математичного моделю-
Накопленный			опыт математического					вання мобільних об'єктів як ОАК дав
моделирования			мобильных			объектов		змогу сформувати ЦІДІФАК – основу
как ОАУ		позволил		сформировать				математичного моделювання [1].
ЦИДИФАК − основу математического
моделирования [1].
Эта	основа представляет собой							Ця основа являє собою принци-
принципы	моделирования,					которыми		пи моделювання, якими слід керува-

необходимо	руководствоваться при	тися при розробленні методик побудо-
разработке методик построения мате-		ви математичних моделей ОАК:
матических моделей ОАУ:		−	цілеспрямованість;
−целенаправленность;		−	ідеалізація;
−идеализация;		−	декомпозиція;
−декомпозиция;		−	ітераційність;
−итерационность;		−	формалізація;
−формализация;		−	абстрагування;
−абстрагирование;		−	контрольованість.
– контролируемость.
Принцип	целенаправленности	Принцип цілеспрямованості ви-
вытекает из того, что моделирование,		пливає з того, що моделювання, як і
как и всякий другой созидательный		будь-який інший творчий (продуктив-
(продуктивный) вид деятельности, вы-		ний) вид діяльності, виконується з пев-
полняется с определённой целью. Для		ною метою. Для одного й того ж ОАК
одного и того же ОАУ можно сформу-		можна сформулювати безліч цілей що-
лировать множество целей по исследо-		до дослідження тих чи інших сукупно-
ванию тех или иных совокупностей		стей властивостей s. Мета моделювання
свойств s. Цель моделирования позво-		дає змогу сформувати межі застосуван-
ляет сформировать границы примени-		ня моделі залежно від ступеня деталі-

68

мости модели в зависимости от степени	зації відображення істотних властивос-
детализации отражения существенных	тей ОАК.
свойств ОАУ.

Принцип идеализации состоит в том, что ОАУ при моделировании описывают в упрощенном, схематическом виде. Происходит выделение основных компонентов и связей, существенных и типичных для данного ОАУ, и исключение всего несущественного, второстепенного и случайного с точки зрения цели моделирования. Одновременно происходит преувеличение и абсолютизация некоторых свойств ОАУ, не существующих в действительности. ОАУ представляют в идеализированном виде для адаптации к известным методам исследования модели либо в силу малой изученности свойств.

Принцип ідеалізації полягає в тому, що ОАК при моделюванні описують у спрощеному, схематичному вигляді. Відбувається виокремлення основних компонентів і зв'язків, що є істотними й типовими для даного ОАК, і виключення всього несуттєвого, другорядного й випадкового з огляду на мету моделювання. Одночасно відбувається перебільшення й абсолютизація деяких властивостей ОАК, які не існують у дійсності. ОАК подають в ідеалізованому вигляді для адаптації до відомих методів дослідження моделі або в силу малої вивченості властивостей.

Принцип декомпозиции играет системообразующую роль в процессе моделирования. По этому принципу решают сложные задачи, разбивая их на ряд взаимосвязанных подзадач меньшей размерности и сложности, что позволяет применять более простые средства моделирования.

Принцип декомпозиції відіграє системотвірну роль у процесі моделювання. За цим принципом розв’язують складні задачі, розбиваючи їх на кілька взаємозв'язаних підзадач меншої розмірності і складності, що дає змогу застосовувати простіші засоби моделювання.

Принцип итерационности					отра-	Принцип ітераційності відобра-
жает противоречивость процесса моде-						жає суперечливість процесу моделю-
лирования и способ её преодоления с						вання та спосіб її подолання за допомо-
помощью		отрицательных		обратных		гою від’ємних зворотних зв'язків. У
связей.	В	процессе	моделирования			процесі моделювання формується кіль-
формируется ряд гипотез о свойствах и						ка гіпотез про властивості й поводжен-
поведении		ОАУ с	использованием			ня ОАК з використанням апріорної ін-
априорной информации. Некоторые из						формації. Деякі з них у процесі побудо-
них в процессе построения и проверки						ви й перевірки моделей на відповід-
моделей	на	соответствие требованиям				ність вимогам виявляються неправиль-
оказываются неверными. Это приводит						ними. Це призводить до необхідності
к необходимости возврата на те этапы						повернення на ті етапи технології мо-
технологии		моделирования,		где	они	делювання, де їх було прийнято, для
были приняты, для корректировки по-						коригування подальших етапів. Тому
следующих этапов. Поэтому приходит-						доводиться повністю або частково по-
ся полностью или частично повторять						вторювати процес формування моделі.
процесс формирования модели.

69

Принцип формализации означает

Принцип

формалізації

означає

запись

приближенного

отражения

запис наближеного відображення влас-

свойств ОАУ с помощью математиче-

тивостей ОАК за допомогою матема-

ских средств. Согласно этому принци-

тичних засобів. Згідно з цим принци-

пу

математические

модели

должны

пом математичні моделі повинні дава-

позволять

проводить

исследования

ти змогу здійснювати дослідження

ОАУ с помощью известных математи-

ОАК за допомогою відомих математи-

ческих средств.

чних засобів.

Принцип

абстрагирования поз-

Принцип абстрагування дає змо-

воляет отвлечься от физической сущ-

гу не зважати на фізичну суть ОАК і

ности ОАУ и исследовать математиче-

досліджувати математичну модель як

скую модель как математическую кон-

математичну конструкцію з допомо-

струкцию с помощью допустимых ма-

гою допустимих математичних перет-

тематических

преобразований, решая

ворень, вирішуючи завдання аналізу і

задачи анализа и синтеза.

синтезу.

Принцип

контролируемости

в

Принцип

контрольованості в

любом виде созидательной деятельно-

будь-якому виді творчої діяльності −

сти − использование контрольных опе-

використання

контрольних

операцій

раций

для

проверки

правильности

для перевірки правильності руху до

движения к цели. При разработке ме-

мети. При розробленні методики мо-

тодики моделирования требуется весь

делювання потрібно весь технологіч-

технологический процесс

разбить

на

ний процес розбити на ряд взаємозв'я-

ряд

взаимосвязанных

этапов,

причём

заних етапів, причому таких, щоб ко-

таких, чтобы каждый этап заканчивал-

жний етап закінчувався результатами,

ся

результатами,

качество

которых

якість яких можна контролювати.

можно контролировать.

Использование

описанных прин-

Використання описаних

принци-

ципов ЦИДИФАК-основы позволяет

пів ЦІДІФАК-основи дає змогу конс-

конструктивно разрабатывать методи-

труктивно розробляти методики мате-

ки

математического

моделирования

матичного моделювання ОАК. Кож-

ОАУ. Каждый получаемый промежу-

ний одержуваний проміжний резуль-

точный результат сравнивают с суще-

тат порівнюють з існуючими аналога-

ствующими аналогами, анализируют с

ми, аналізують з огляду на здоровий

точки зрения здравого смысла и

глузд

і

накопичений

досвід

накопленного опыта решения подоб-

розв’язання подібних задач. Унаслідок

ных задач. В результате анализа наме-

аналізу визначають заходи щодо усу-

чают меры по устранению ошибок мо-

нення помилок моделювання. Прин-

делирования.

Принцип

контролируе-

цип контрольованості спільно з прин-

мости совместно с принципом итера-

ципом ітераційності дає змогу сфор-

ционности

позволяет

сформировать

мувати ефективні зворотні зв'язки для

эффективные обратные связи для каче-

якісного досягнення поставленої мети.

ственного

достижения

поставленной

цели.

70