39

Вопрос 10

НА ПАЛЬЦАХ? Пожалуйста! Возьми правую руку, сожми пальцы в кулак, а потом максимально оттопырь из кулака три пальца: большой, указательный и средний. Эти три пальца показывают по трем разным направлениям. Ну типа по осям, х, y и z. Это и есть базис в трехмерном пространстве. Базисом эта штука называется потому что любой карандаш, торчащий из кулака в любом направлении и любой длины, имеет три проекции на твои пальцы. Типа, какой он длины вдоль большого пальца, вдоль указательного и вдоль среднего. Зная эти три числа можно восстановить, какой длины был карандаш в кулаке и куда он был направлен. Если бы наше пространство было 4-мерным, то я бы предложил тебе оттопырить 4 пальца, а в пятимерном 5 пальцев. Но в 3-мерном пространстве 4-й и 5-й пальцы для базиса уже лишние. Базис обходится минимально необходимым числом пальцев. Четвертый и пятый пальца можно как карандаш спроектировать на первые три и однозначно определить их положение. А вот если определить положение третьего пальца из проекций только на два пальца, то однозначно восстановить положение не удается. (Пошевели каким-нибудь одним из трех пальцев и проверь это сам.) А если бы речь шла о твоей ладони на столе (2-мерное пространство), то я бы предложил оттопырить только 2 пальца. В 2-мерном пространстве этого достаточно. Базис называется ортогональным если между всеми тремя твоими пальцами все углы равны 90 градусов. (Это можно сделать, пошевелив пальцами. У меня ортогональный базис получается, если максимально раздвинуть пальцы, я ведь не пианист.) Базис называется нормированным, если все три пальца имеют одну и ту же длину. (Ни в коем случае не подрезай пальцы ножом! Твой базис на пальцах ненормированный от природы.) Базисы бывают левые и правые. Левый у тебя на левой руке. Они зеркально отраженные и их нельзя совместить друг с другом. (Проверь это в качестве домашнего задания.)

33B

Бинарная операция¹⁾ на непустом множестве — это отображение из прямого произведения в .

Для обозначения бинарной алгебраической операции часто вместо записи используют запись . Обычно также для обозначения бинарных алгебраических опреаций используют специальные символы , , и так далее.

На множестве может быть определено сразу несколько бинарных алгебраических операций. Чтобы подчеркнуть, какая именно операция имеется ввиду, используют скобки, например, .

Пример 1. Операции сложения и умножения в основных алгебраических структурах: группах, кольцах, полях — являются бинарными алгебраическими операциями.

Пример 2. Пусть — множество всех подмножеств множества . Операции пересечения и объединения — это бинарные алгебраические операции на множестве .

Пример 3. Операция, ставящая в соответствие двум натуральным числам и их наибольший общий делитель НОД , является бинарной алгебраической операцией на множестве натуральных чисел.

Виды бинарных операций

Определение 2. Бинарная алгебраическая операция на множестве называется коммутативной²⁾, если для всех .

Определение 3. Бинарная алгебраическая операция на множестве называется ассоциативной³⁾, если для всех .

Пример 4. Операция сложения на множестве целых чисел является коммутативной и ассоциативной.

Пример 5. Операция композиции отображений на множестве ассоциативна, но не коммутативна.

Пример 6. Операция умножения в кольце Ли не является ни коммутативной, ни ассоциативной.

Бинарная операция — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).