Линейная зависимость векторов
Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно i , т.е. .
Если же только при i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.
Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.
Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.
Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.
Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.
Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.
Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.
ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ [linear combination] — вектор, представленный в виде x = αiai +... + αnan, где коэффициенты αi — произвольные числа; ai — рассматриваемые векторы (i = 1, ..., n). Если сумма коэффициентов равна единице и 0 < αi < 1, имеем выпуклую Л. к. в
Определение. Любое непустое подмножество системы векторов называется подсистемой данной системы векторов.
Пример. Пусть – система из 10 векторов. Тогда системы векторов: ; , – подсистемы данной системы векторов.
Теорема. Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то сама система векторов тоже линейно зависима.
Доказательство. Пусть дана система векторов и пусть для определенности подсистема , где является линейно зависимой. Тогда она представляет нулевой вектор нетривиально:
,
где среди коэффициентов есть хотя бы один не равный нулю. Но тогда следующее равенство есть нетривиальное представление нулевого вектора:
,
откуда, по определению, следует линейная зависимость системы , ч.т.д.
Теорема доказана.
Следствие. Любая подсистема линейно независимой системы векторов является линейно независимой.
Доказательство. Допустим противное. Пусть какая-нибудь подсистема данной системы является линейно зависимой. Тогда из теоремы следует линейная зависимость данной системы, что противоречит условию.
Следствие доказано.
38B/
Базис и ранг системы векторов.
[ Назад ]
Пусть задана система векторов a1, a2, ..., am (1) Выделим из этой системы подсистему ai1, ai2, ..., air (2), где числа i1, i2, ir - какие-то из чисел от (1; m). Подсистема (2) является максимальной линейно независимой подсистемой или базисом системы (1), если векторы системы (2) линейно независимы, а любой вектор системы (1) является их линейной комбинацией. Пример: e1и e2 являются базисом всех двухмерных векторов (e1 по оси 0x, а e2 по оси 0y). A= c1e1+ c2e2. В одной и той же системе векторов может быть несколько базисов, но число векторов в каждом базисе одно и то же. Два различных базиса одной и той же системы векторов содержит одинаковое количество векторов. Рангом системы векторов называется число векторов в любом базисе системы, т.е. рангом системы векторов является максимальное число линейно независимых векторов системы. Ранг «r» R2= 2. Система, состоящая более чем из n n-мерных векторов линейно зависима. Отсюда следует, что базис любой системы векторов состоит из конечного числа векторов и оно не превосходит n. Rn будет иметь максимальное число линейно независимых векторов n (размерность - n). Любой базис n-мерного векторного пространства содержит n векторов
Ранг системы векторов - это количество линейно - независимых векторов в ней ( и равен рану матрицы, составленной из координат концов этих векторов )
40B
Базис пространства . Координаты вектора
Базис
- любая упорядоченная система
из
n линейно независимых векторов
пространства
.
Обозначение:
Для
каждого вектора
существуют
числа
такие
что
Числа
называются
координатами вектора
в
базисе (
)
(определяются однозначно), X = (x) -
координатный столбец вектора
в
этом базисе. Употребляется запись:
Справедливы формулы:
