- •Вопрос 10
- •Виды бинарных операций
- •Определение
- •Замечание
- •Примеры
- •35B/Тригонометрическая и показательная формы
- •Свойства Геометрические свойства
- •Алгебраические свойства
- •Примеры
- •Линейная зависимость векторов
- •Матрица перехода
- •Определение
- •[Править] Связанные определения
- •[Править] Свойства
- •[Править] Линейное преобразование и ранг матрицы
- •[Править] Методы
- •Определение
- •Связанные определения
- •Свойства
- •Линейное преобразование и ранг матрицы
- •[Править] Однородные системы
- •[Править] Пример
- •[Править] Неоднородные системы
- •[Править] Пример
- •Определитель Грама
- •[Править] Геометрический смысл определителя Грама
- •Евклидово пространство
- •[Править] Связанные определения
- •[Править] Примеры
- •Процесс ортогонализации Грама--Шмидта в конечномерном евклидовом пространстве
- •Скалярное произведение в произвольном базисе
- •Ортогональное дополнение подпространства m из l
- •Ортогональное дополнение подпространства m из l
- •Линейные операторы
- •[Править] Единичный (тождественный) оператор
- •Матрица линейного оператора
[Править] Связанные определения
Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.
Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.
Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) - каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.
[Править] Примеры
Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:
размерности 1 (вещественная прямая)
размерности 2 (евклидова плоскость)
размерности 3 (евклидово трехмерное пространство)
Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (так как оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.
Более абстрактный пример:
пространство вещественных многочленов p(x) степени, не превосходящей n, со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например )
п.5. Ортогональные векторы. Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу, т.е. .
Обозначение: – векторы и ортогональны.
Определение. Тройка векторов называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны друг другу, т.е. , .
Процесс ортогонализации Грама--Шмидта в конечномерном евклидовом пространстве
Определение 1. Линейное пространство конечной размерности над полем называется унитарным, если для любых двух элементов определена комплекснозначная функция (скалярное произведение), обозначающаяся , удовлетворяющая свойствам:
(Коммутативность) ;
;
;
-- вещественное .
Определение евклидова пространства отличается тем, что поле заменяется на , а комплексное сопряжение в свойстве не требуется.
Теорема 1. (Грама--Шмидта) в любом конечномерном унитарном (евклидовом) пространстве можно построить ортонормированный базис.
Доказательство. Докажем методом математической индукции.
База индукции. . . Это и есть ОНБ.
Предположение. Пусть верно для .
Доказательство индукции. Возьмем базис . Рассмотрим его в -мерном пространстве . По предположению, там найдется ОНБ . Дополним этот базис до базиса : (без ограничения общности, последний вектор линейно не зависит от этого базиса). Сконструируем вектор
Нужно, чтобы он был ортогонален всем векторам:
а это выполнено тогда и только тогда, когда (умножая обе части равенства на последовательно)
Отсюда, , . Теперь положим , построив тем самым ОНБ и доказав утрверждение теоремы.
47/B
Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты
Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.
Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.
Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:
то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ( ), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.
Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.
Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).
Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.
Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:
можно найти так:
.
Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:
Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).