[Править] Пример

Решим систему

Преобразуем её к

Тогда переменные и обязательно будут главными, возьмём также в качестве главной.

Заметим, что является частным решением.

Составим однородную систему:

Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной , получим ФСР однородной системы:

Общее решение системы может быть записано так:

Ме́тод Га́усса^[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные^[2].

46/B

Определитель Грама

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Определителем Грама системы векторов e₁, e₂, ..., e_n в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

где — скалярное произведение векторов e_i и e_j.

Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:

Пусть в евклидовом пространстве V система векторов e₁, e₂, ..., e_n порождает подпространство U. Зная, чему равны скалярные произведения вектора x из U с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора x по векторам e₁, e₂, ..., e_n. Исходя из разложения x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n получается линейная система уравнений с матрицей Грама:

Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы e₁, e₂, ..., e_n линейно независимы. Поэтому обращение в нуль определителя Грама системы векторов - это критерий их линейной зависимости.

[Править] Геометрический смысл определителя Грама

Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:

Пусть в евклидовом пространстве V система векторов e₁, e₂, ..., e_n порождает подпространство U. Зная скалярные произведения вектора x из V с каждым из этих векторов, найти расстояние от x до U. Минимум расстояний |x-u| по всем векторам u из U достигается на ортогональной проекции вектора x на U. При этом x=u+n, где вектор n перпендикулярен всем векторам из U, и расстояние от x до U равно модулю вектора n. Для вектора u решается задача о разложении (см. выше) по векторам e₁, e₂, ..., e_n, и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:

где Г - определитель Грама системы. Вектор n равен:

и квадрат его модуля равен

Из этой формулы индукцией по n получается следующее утверждение:

• Определитель Грама системы n векторов равен квадрату n-мерного объёма параллелепипеда, натянутого на эти векторы.

Евклидово пространство

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно n-мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

,

в простейшем случае (евклидова норма):

где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:

,

где и .

Содержание

 [убрать] 

• 1 Связанные определения

• 2 Примеры

• 3 Вариации и обобщения

• 4 См. также

• 5 Ссылки