Матрица линейного оператора

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис . Пусть  — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

,

где x^k — координаты вектора в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть  — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

.

Вектора также разложим в выбранном базисе, получим

,

где  — j-я координата k-го вектора из .

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

.

Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец x^k даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.

 Комментарий: Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов . Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным.

52/B

 Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если ( для комплексного ), такое, что Число называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

     Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X, то или

 Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений

Собственные векторы b₁, b₂,…, b_k, линейного преобразования j, относящиеся к различным собственным значениям, составляют линейно независимую систему,

Будем доказывать это утверждение индукцией по k, так как при k =1 оно справедливо - один собственный вектор, будучи отличным от нуля, составляет линейно независимую систему. Пусть

b_ij=l_i b_i     i = 1, 2,…, k,

и

l_i ¹ l_j при i ¹ j.

Если существует линейная зависимость

a₁b₁+a₂b₂+…+a_kb_k = 0                                       (9)

где, например. a₁¹0, то, применяя к обеим частям равенства (9) преобразование j, получим

a₁l₁ b₁+a₂l₂b₂+…+a_kl_kb_k = 0

Вычитая отсюда равенство (9), умноженное на l_k, получаем

a₁(l₁-l_k) b₁+a₂(l₂-l_k)b₂+…+a_k-1(l_k-1-l_k)b_k-1 = 0

что дает нетривиальную линейную зависимость между векторами b₁, b₂,…, b_k-1, так как a₁(l₁-l_k)¹0.\

51/B

Собственные числа линейного оператора - корни характеристического уравнения , где - матрица оператора f, - символ Кронекера.

     Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений

     Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где - соответствующие собственные значения.

53/B

54/B

Оператор A называется невырожденным, если у него нулевое ядро ker A, т. е. если он переводит в нуль только нуль. Другими словами, уравнение Ax = Θ имеет только нулевое решение. Из курса алгебры известно, что оператор A невырожден в том и только том случае, если определитель его матрицы отличен от нуля.