Определение
Пусть
—
прямоугольная матрица.
Тогда по определению рангом матрицы A является:
ноль, если A — нулевая матрица;
число
,
где Mr — минор матрицы
A порядка r, а Mr
+ 1 — окаймляющий к нему минор
порядка (r + 1), если они существуют.
-
Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы порядка k равны нулю (Mk = 0). Тогда
,
если они существуют.
[Править] Связанные определения
Ранг
матрицы
M размера
называют
полным, если
.Базисный минор матрицы A — любой ненулевой минор матрицы A порядка r, где
.
Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)
[Править] Свойства
Теорема (о базисном миноре): Пусть
—
базисный минор матрицы A, тогда:
базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).
Следствия:
Если ранг матрицы равен r, то любые p:p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
Если A — квадратная матрица, и
,
то строки и столбцы этой матрицы линейно
зависимы.Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.
Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение A∼B для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если A∼B, то их ранги равны.
Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
Количество главных переменных системы равно рангу системы.
Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.
[Править] Линейное преобразование и ранг матрицы
Пусть A — матрица размера над полем C (или R). Пусть T — линейное преобразование, соответствующее A в стандартном базисе; это значит, что T(x) = Ax. Ранг матрицы A — это размерность области значений преобразования T.
[Править] Методы
Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:
Метод элементарных преобразований
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.
Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.
Определение
Пусть — прямоугольная матрица.
Тогда по определению рангом матрицы A является:
ноль, если A — нулевая матрица;
число , где Mr — минор матрицы A порядка r, а Mr + 1 — окаймляющий к нему минор порядка (r + 1), если они существуют.
-
Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы порядка k равны нулю (Mk = 0). Тогда , если они существуют.