[Править] Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Теорема (о линейном решении однородных систем). Пусть — решения однородной системы (1), — произвольные константы. Тогда также является решением рассматриваемой системы.

Сформулируем теорему, которая позволит дать основное определение:

Теорема (о структуре общего решения). Пусть , тогда: если , где — число переменных системы, то существует только тривиальное решение; если , то существует линейно независимых решений рассматриваемой системы: , причём её общее решение имеет вид: , где — некоторые константы.

Пусть дана однородная система (1), тогда набор векторов размера называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:

• — решения системы (1);

• линейно независимы;

• .

Теорема (о ФСР). Пусть ранг основной матрицы , где — число переменных системы (1), тогда: ФСР (1) существует: ; она состоит из векторов; общее решение системы имеет вид . Замечание: Если , то ФСР не существует.

[Править] Пример

Решим систему

Перепишем её в матричном виде:

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

Возьмём и в качестве главных переменных. Тогда:

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: и .

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

,

а вектора составляют фундаментальную систему решений.

[Править] Неоднородные системы

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

— её расширенная матрица.

Теорема (об общем решении неоднородных систем). Пусть (т.е. система (2) совместна), тогда: если , где — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно; если , то общее решение системы (2) имеет вид , где — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением, — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.