Действия над сходящимися рядами

1.Сходящиеся ряды можно почленно складывать сходится , то тоже сходится.

2.Сходящийся ряд можно почленно умножить на общий множитель, если ряд сходится , то ряд сходится.

Умножение абсолютно сходящихся рядов

Пусть заданы два знакопеременных ряда.

Теорема: если ряды (1) и (2) сходятся абсолютно, то ряд

Также абсолютно сходится, причем имеет место равенство: где,

-сумма ряда (1)

сумма ряда (2)

сумма ряда (3)

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда ряды (1) и (2) состоят из положительных членов, в этом случае члены ряда (3) также положительны, следовательно, последовательность частичных сумм , возрастает с возрастанием номера n заметим, что для любого номера n, можно подобрать такой номер m, что члены ряда (3), входящую в частичную сумму , будут присутствовать в произведении , следовательно, имеет место неравенство, . Так как ряды (1) и (2) состоят из положительных членов, то имеет место неравенство , . Откуда вытекает, что , ограничена сверху. Так как последовательность возрастает и ограничена сверху, то имеет предел переходя в неравенстве к пределу, получим рассмотрим произведение частных сумм ряда (1), (2) , для выбора нового номера n, , можно указать такой номер m, что все слагаемые произведения будут являться членами частичной суммы , следовательно имеет место неравенство

Сравнивая неравенство (5), (6), что

Пусть теперь ряды (1) и (2) знакопеременные, абсолютно сходящиеся ряды, следовательно сходятся ряды.

Согласно доказанному заключаем, что сходится ряд

(3) сходится абсолютно, осталось доказать, что . Выпишем члены ряда (3) бесконечной прямоугольной таблицы.

Поскольку ряд (3) сходится абсолютно, то можно представлять его члены, выпишем ряд (3), записав его члены, идя по квадратам выписанной таблицы.

Обозначим выписанные слагаемые через и тд, подберем числа n и m так, чтобы выполнялось равенство: , заметим, что:

.

Таким образом замечаем, что частичная сумма при , переходя к пределу, получим: . Так как ряд (3) сходится, то предел его частичной суммы является единственным, из единственности предела вытекает справедливость соотношения . При любом способе стремления номера n к бесконечности. Теорема доказана.

Пример: Вычислить сумму ряда.

Исходя из выписанных членов ряда, замечаем, что это ряд можно представить как произведение на себя ряда: . Последний ряд является суммой геометрической прогрессии, известно, что он сходится, если и его сумма равна: , согласно доказанной теореме, следует, что рассматриваемый ряд сходится и его сумма равна .

Функциональные ряды

Пусть задана последовательность функций , определена на интервале . Если функциональный ряд . Сходится всегда, так как из интервала , то интервал называется областью сходимости ряда (2). В рассматриваемых точках из интервала , можно рассмотреть следующие функции:

-сумма ряда

-частичная сумма ряда.

- = -остаток ряда.

Сходимость ряда (2) в точках из интервала означает, что для любого положительного числа , можно указать номер N, такой, что для всех , будет выполняться неравенство: - < , . Если величина номера N зависит, как от величины , так и от точек из интервала , то говорят о поточечной сходимости ряда (2).

Если для заданной величины , можно указать номер N, пригодный для всех значений интервала , то говорят о равномерной сходимости ряда (2).

Пример: исследовать на равномерную сходимость ряда:

- -

На интервале , где - некоторое положительное число, замечаем, что члены выписанного ряда являются правильными дробями, члены этого ряда начиная со второго могут быть представлены в виде:

.

То есть разложили правильную дробь на сумму простейших дробей. С учетом полученных представлений можем записать последовательность частичных сумм в виде:

- =

.

Переходя к пределу получим: - =

Для установления равномерной сходимости ряда, воспользуемся неравенством (3) . Откуда следует, что или . Для того, чтобы рассмотреть поточечную сходимость ряда достаточно выбрать номер N= , в этом случае N зависит как от величины , так и от x. Однако замечаем, что если N= , то величина N будет пригодна для всех значений x из рассматриваемого интервала.

Рассмотренный пример в частности показывает, что из равномерной сходимости ряда вытекает его поточечная сходимость. На следующем примере покажем, что утверждение не справедливо.

Пример:

Рассмотрим ряд:

Замечаем, что частичная сумма этого ряда может быть записана в виде:

Исследуем сходимость ряда на отрезке , заметим, что на интервале - = . Для определения величины N воспользуемся выражением (3) . Логарифмируем полученное неравенство, получим . На рассматриваемом интервале отрицателен, следовательно . В случае поточечной сходимости, в качестве N можно взять величину: N= . Замечаем, что , следовательно нельзя найти номер, который был бы больше величины , для всех значений x из интервала . Следовательно, на интервале ряд сходится поточечно и не сходится равномерно. Покажем, что этот ряд сходится на граничных точках рассматриваемого интервала.

При х=0 получаем ряд: 0-0-0-0-0……

Частичная сумма , следовательно .

При х=1 получаем ряд: 1-0-0-0-0……

Частичная сумма , следовательно

Видим, что рассматриваемый ряд сходится поточечно на отрезке .