Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим уравнение
,
где
-некоторая
заданная постоянная, из общей теории
линейных дифференциальных уравнение
следует, что для нахождения общего
решения достаточно найти фундаментальную
систему решений уравнения (1). Будем
искать решение уравнения (1) в виде:
,
подставляя производные (2) в (1), получим:
.
Многочлен стоящий в левой части (3),
называется характеристическим
многочленом. Для того, чтобы найти
решение уравнения (1) заданного вида,
нужно найти корни характеристического
многочлена, при этом могут встретиться
некоторые случаи.
I. Все корни
характеристического многочлена
,
действительны и различны,
. Покажем, что набор функций (4) является
фундаментальной системой решений.
Составим определитель Вронского от
функции (4)
(=)
вынесем общий множитель из каждого столбца:
(=)
Определитель, стоящий в правой части последнего соотношения называется определителем Ванедермонда. Известно, что определитель Ванедермонда равен:
…
…
…
Пример:
Таким образом, из свойств определителя
Вандермонда, заключаем, что все
различны,
то определитель Вандермонда не равен
нулю, а следовательно и определитель
Вронского не равен нулю. Таким образом
набор функций (4) является фундаментальным
и общем решением уравнения (1) можно
записать в виде:
.
II. Среди корней
характеристического многочлена
присутствуют комплексные числа. Поскольку
характеристический многочлен является
многочленом с действительными
коэффициентами, то если
,
является корнем характеристического
многочлена, то сопряженная величина
,
также будет являться корнем
характеристического многочлена.
Формальное выражение вида:
,
является решением уравнения (1).
Функция (6) есть комплексная функция
действительного переменного х. Известно,
что если функция
-комплексная
функция действительного переменного,
то
Лемма:
если функция (7) является решением
однородного уравнения (1), то есть
удовлетворяет соотношению
,
то функции
и
,
также удовлетворяет уравнению (1).
Доказательство: используя
свойства линейности оператора L,
получим:
,
отсюда следует, что
.
Выделяя в функции (6) действительную и
мнимую часть, получим:
.
=
=
(8)
Таким образом замечаем, что каждой паре
комплексно сопряженных корней
соответствует пара действительных
решений уравнения (1). Если все корни
характеристического многочлена различны,
то различным вещественным корням
ставятся в соответствие функции:
,
а каждой паре комплексного сопряженного
числа соответствует пара функций (8).
Пример 1:
Найти общее решение дифференциального уравнения:
.
Ищем решение в виде:
,
тогда
,
.
найдем корни характеристического многочлена:
и
и
- образуют фундаментальную систему
решений.
+
- общее решение.
Пример 2:
Найти общее решение дифференциального уравнения:
.
Так как многочлен является многочленом с действительным коэффициентом, то оставшиеся два корня будут являться величинами сопряженными найденным. И мы имеем набор решений:
И общее решение представляется в виде:
III. Пусть среди
корней характеристического многочлена
присутствуют кратные корни. Пусть
дифференциальное уравнение (1) обладает
различными характеристическими
многочленами, с различными действительными
корнями,
,
,
тогда выражение
является решением уравнения (1). Будем
изменять дифференциальное уравнение
(1) так, чтобы корень
стремился к значению
,
вычислим:
Пролопиталим выражение, стоящее в
пределе
.
Таким образом замечаем, что если
характеристический многочлен обладает
корнем кратности 2, то этому корню можно
подставить в соответствие два решения:
,
.
Если величина
,
является корнем кратности m,
то этому корню ставят в соответствие
набор решений вида:
,
,
… ,
.
Если кратным является комплексный корень, то рассматривается серия решений вида:
…,
…,
.