Критерии Коши равномерной сходимости функционального ряда

Пусть задан функциональный ряд: задан на интервале

Теорема: Для равномерной сходимости функционального ряда (1) на интервале не обходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа , можно было указать такой номер N, что для всех , для любых натуральных чисел p и всех точек интервала выполнялось неравенство:

Доказательство:

1) Необходимость. Для доказательства нужно показать, исходя из равномерной сходимости ряда (1) выполнение условия (2). Заметим, что выражение может быть записано в виде, . Переходя в последнем равенстве к абсолютным величинам, получили: . Зафиксируем произвольное положительное число . Так как ряд (1) равномерно сходится, для выбранного значения , можно было указать такой номер N, что для всех будет выполнялось неравенство , так как n+p>N, то имеем также неравенство . С учетом выписанных оценок устанавливаем справедливость неравенства (2).

2) Достаточность. Для доказательства необходимо исходя из неравенства (2) установить равномерную сходимость ряда (1). Заметим, что остаток ряда (1) может быть представлен в виде: . Зафиксируем произвольное положительное число . И по этому числу находим такой номер N, что для всех , для любых натуральных чисел p, всех точек интервала выполнялось неравенство: . Переходя в (4) к пределу при получим: . Таким образом доказали достаточность. Теорема доказана.

Функциональная последовательность

Отметим, что последовательность частичных сумм: была построена по заданному функциональному ряду . Отметим, что этот порядок определения может быть изменен. Можно изначально задаваться последовательностью функций и уже на ней строить соответственный функциональный ряд. В этом случае: , , ,…,

Таким образом можно говорить о сходимости функциональной последовательности, о предельной функциональной последовательности (1), об области сходимости последовательности (1), и о равномерной сходимости (1). При этом вопрос о сходимости функциональной последовательности эквивалентен вопросу о сходимости соответственного функционального ряда. Критерии Коши в случае функциональной последовательности записываются в виде: .

Свойства равномерно сходящихся функций последовательностей

1. Если элементы функции последовательности являются непрерывными функциями на (a,b) и последовательность сходится равномерно на (a,b), то предельная функция также непрерывна на (a,b).

Доказательство: Рассмотрим функциональную последовательность (1)

Элементы этой последовательности – непрерывной функции на интервале (a,b)

Если последовательность (1) сходится равномерно, то функция непрерывна на интервале (a,b) нужно показать, что для любого положительного числа , найдется отвечающее ему положительное число , такое, что будет выполняться неравенство ; . Представим выражение под знаком модуля в виде: (2)

Рассмотрим каждую скобку в отдельности. Т.к. последовательность (1) сходится равномерно, то для заданной величины можно указать номер , такой что для всех будет выполняться неравенство (3). Аналогично, в силу равномерной сходимости последовательности (1) для заданной величины можно указать номер , такой что при будет выполняться неравенство (3’). Выберем в качестве , тогда при будут выполняться неравенства (3), (3’) единовременно. Выберем , при этом в силу непрерывности элементов последовательности (1) для заданной величины можно указать такое , что при . Используя выписанные оценки, получим, что при заданной величине можно указать положительную , такую что будет выполняться оценка:

таким образом, доказали справедливость.

Первое свойство:

П ример: Рассмотрим последовательность на . На прошлой лекции было показано, что эта последовательность сходится неравномерно. ; ; ; .

Рассматриваемый пример показывает в частности, что функция не является элементарной. Функция определена на и не является непрерывной при . Из курса первого семестра известно, что элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены. Таким образом, функциональные последовательности, функциональные ряды позволяют работать с функциями не являющимися элементарными. Заметим, что существует функциональная последовательность, которая сходится неравномерно, однако предельная функция является при этом непрерывной, например: .

Второе свойство:

Если функциональная последовательность образована из непрерывных на функций и равномерно сходится на этом интервале, то для любого выполняется соотношение: (4).

Если переменная интегрируемая переменная, например, , то также сходится равномерно на .

Доказательство: Исходя из первого свойства, замечаем, что предельная функция непрерывна на , следовательно, существует интеграл . Согласно свойствам определенного интеграла, что . Соотношение (4) означает, что для заданной положительной величины , найдется номер N, при котором для всех будет выполняться неравенство: (5)

Выполним оценку абсолютности величины соотношения (5). Известно, что модуль , т.к. последовательность сходится равномерно, то для заданной положительной величины найдем номер N, такой, что при всех будет выполняться неравенство (6).

С учетом неравенства (6) получим, что . Для всех . Соотношение (4) доказано.

Равномерная сходимость последовательности вытекает из того, что полученная оценка никак не зависит от величины .

Третье свойство:

Если элементы последовательности имеют, непрерывные производные на и последовательность сходится равномерно на . , а последовательность сходится на , то последовательность сходится равномерно и имеет место соотношение (7)

Третье свойство называется предельным переходом под знаком производной.

Доказательство: Зафиксируем произвольное число . Согласно свойству 2 получаем, что (8)

.

Таким образом, левая часть выражения (8) может быть записана в виде:

Дифференцируя последнее равенство, приходим к соотношению (7). Равномерная сходимость последовательности вытекает из представления . Видим, что первое слагаемое является последовательностью не зависящей от x и следовательно она сходится равномерно в силу свойства (2).