III. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейными дифференциальными уравнениями 1-го порядка называются уравнения вида:

(1), где A,B,C – заданные непрерывные функции, причём, функция A отлична от 0.

Дифференциальное уравнение (1) может быть переписано в виде:

(1’)

Будем искать решения уравнения (1’) в виде произведения двух функций

Подставляя выписанное выражение в (1’) получим

Приведем подобные по U в левой части выписанного выражения:

Подберём функцию V так чтобы выражение стоящее в квадратных скобках обращалось в 0: V’+P(x)V=0

Для этого потребуется решить уравнение с разделяющимися переменными:

Для того, чтобы занулить выражение в квадратных скобках достаточно взять произвольное значение параметра

Примем ,тогда используя найденные выражения для функции V придём к дифференциальному уравнению:

Снова получили уравнение с разделяющимися переменными, разделяя переменные находим:

Интегрируя, находим: ,таким образом решение уравнения (1) получается в виде:

(2)

Формула (2) даёт решение линейного уравнения (1’). Формулу (2) обычно не запоминают, а запоминают алгоритм её получения.

Пример:

Найти решение дифференциального уравнения:

IV. Уравнение Бернулли:

Уравнением Бернулли называется уравнение вида:

(3)

- некоторое вещественное число, отличное от 0 и 1.

Если или =1 то уравнение Бернулли вырождается в линейное уравнение.

Разделяя уравнение (3) на , в результате получим.

(3’)

Для нахождения решения уравнения Бернулли вводим новую вспомогательную функцию:

Тогда производная

Таким образом, замечаем, что с помощью функции z уравнение, уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению:

(4)

Разрешив уравнение (4) и вернувшись к функции y, найдём решение уравнения Бернулли.

Пример:

Новая вспомогательная функция

V. Уравнения полных дифференциалов:

- может быть записано с помощью дифференциала.

Умножаем уравнение (5’) на некоторую функцию от 2 переменных, N(x, y), выражение (5’) можно записать в более симметричном виде:

Рассмотрим случай когда выражение стоящее в левой части уравнения (5’’)

Является полным дифференциалом некоторой функции 2 переменных.

Если левая часть уравнения (5’’) является первым дифференциалом, то

Известно, что смешанные производные в случае непрерывности первых производных равны.

Таким образом левая часть (5’’) будет полным дифференциалом , если выполнится соотношение (6)

В этом случае дифференциальное уравнение (5’’) называется дифференциальным уравнением полных дифференциалов, уравнение принимает вид:

Откуда находим после интегрирования .

Пример:

Найти решение дифференциального уравнения :

Проверим является ли это уравнение уравнением полных дифференциалов

Видим, что уравнение (6) выполняется и заданное уравнение является уравнением полных дифференциалов.

интегрируя по x, выписанное соотношение, находим:

Для определения функции K воспользуемся соотношением:

Используя выражение (*) находим,

Приравнивая величины частных производных , получаем что , после интегрирования находим,

И таким образом находим решение уравнения в виде:

Если в дифференциальном уравнении + не выполняется условие (6) то есть уравнение не является уравнением полного дифференциала, то тем не менее его “всегда” можно привести к уравнению полного дифференциала умножив на некоторый вспомогательный множитель

В этом случае называется интегрирующим множителем.

Задача нахождения интегрированных множителей в общем случае равносильна, задаче решения заданного уравнения. Обычно интегрирующий множитель находят используя эвристические методы.

Пример:

Проверим, является ли это уравнение уравнением полных дифференциалов

Выделим в заданном дифференциальном уравнении группу слагаемых являющихся полным дифференциалом.

Таким образом, видим, что в этом примере интегрирующим множителем является выражение .

Существование решений ОДУ первого порядка разрешённых относительно производной.

Интегральные кривые дифференциальных уравнений первого порядка образуют семейство зависящее от одного параметра.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называются семейство решений (7) такое что при соответствующем выборе постоянной может быть получено любое однозначно определённое начальными данными решение. Чтобы однозначно определить решение дифференциального уравнения, решают задачу Каши.

Находим решение, удовлетворяющее начальным данным

Рассматривая элементарные методы интегрирования дифференциального уравнения первого порядка, мы исходили из существования у дифференциального уравнения решений. В общем случае вопрос о существовании решений решается с помощью теоремы.

Теорема: - дифференциальное уравнение первого порядка у которого функция удовлетворяет следующим 2 требованиям:

1) - непрерывна как функция 2 переменных в замкнутой ограниченной области R

2) Функция удовлетворяет в области R по переменной y условию Липшица, то есть, существует такое положение N, что для любого значения x, , и для любых 2 значений выполняется неравенство:

При выполнении этих требований дифференциальное ур-е первого порядка обладает единственным решением определённым в окрестностях точки проходящей через эту точку.

На практике часто условие липшицевости функции заменяют более грубым условием непрерывности функции .