Элементарные методы интегрирования (оду первого порядка)

[1] Метод разделения переменных:

I. Дифференциальное уравнение первого порядка не содержащее явно искомую функцию.

Дифференциальные уравнения этого типа могут быть записаны в виде: (3) (3’). Если , является решением уравнения (3) на некотором интервале, то дифференциал (4). Сравнивая (3’) и (4) замечаем, что функция является первообразной для функции , при этом рассматривается непрерывная на интервале функция f(x) и следовательно для неё существует первообразная: (5). Дифференциальное уравнение (3) принято записывать в виде: (некоторая первообразная), с – некоторая постоянная. Для выяснения смысла постоянной с, найдем решение задачи Каши для уравнения (3) для этого приводим (5) в виде: (5’), , получим .

Таким образом замечаем, что решение уравнения (3) можно представить в виде: (5”).

[1.2] В дифференциальных уравнениях первого порядка не содержится явно независимые переменные. Дифференциальные уравнения такого типа можно представить в виде: (6) или в виде (6’).

Будем предполагать, что для решения уравнения (6) , существует обратная функция: . Относительно обратной функции уравнение (6) будет относится к типу 1.1). Используя правило дифференциальной обратной функции, можно записать: (7). Разрешая выражение (7) получим, что (8). Замечаем, что для использования выражения (8) необходимо потребовать, чтобы функция была отлична от нуля. Если функция отлична от нуля и не прерывна на интервале , то на этом интервале функция сохраняет знак. При этих условиях , является монотонной, а следовательно для неё существует обратная. Эта обратная функция не будет являться уравнением (6).

[1.3]Общий случай разделения переменных. Наиболее общий тип таких дифференциальных уравнений представляется в виде: (9). Либо в виде: (9’), (9”). Если является решение уравнения (9), обращается в тождество на рассмотренном интервале, следовательно, левую и правую часть уравнения (9”) можно приравнять к дифференциалу некоторой переменной t. В правом выражение дифференциала dt выражается через переменную x, в левом через y. Используя интегрирование типов уравнений [1.1] [1.2] получим, что , . Приравнивая выражения для величины t, найдем: (10)

Уравнение (10) определяет решение уравнения (9), содержит в себе, в качестве частных случаев, уравнения [1.1] и [1.2].

II. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Записываются в виде: (11), где однородная функция нулевого порядка, т.е. обладает свойством (12), где t-некоторый произвольный множитель. Взяв соотношение (12) , получим, что , замечаем, что правая часть последнего равенства является функцией одной переменной от отношения . . Таким образом, уравнение (11) можно представить в виде: (11’). Для нахождения решения функции (11’) вводят новую функцию , тогда , и уравнение (11’) можно представить в виде: . Получили уравнения с разделяющимися переменными . Интегрируя последнее соотношение, находим: . Возвращаясь к переменной y, находят общее решение однородного дифференциального уравнения.