- •Дифференциальные уравнения.
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Элементарные методы интегрирования (оду первого порядка)
- •I. Дифференциальное уравнение первого порядка не содержащее явно искомую функцию.
- •II. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •III. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •IV. Уравнение Бернулли:
- •V. Уравнения полных дифференциалов:
- •Особые точки
- •Особые решения
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков
- •Автономное уравнение второго порядка
- •Линейные однородные уравнения n-го порядка
- •Определитель Вронского
- •Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •Метод вариации постоянных
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Геометрический смысл системы уравнений первого порядка
- •Первые интегралы
- •Линейные системы с постоянными коэффициентами
- •Устойчивость положения равновесия (устойчивость по первому приближению)
- •Сравнение рядов с положительными членами
- •Расходимость гармонического ряда
- •Радикальный признак Коши, сходимости рядов с положительными членами
- •Интегральный признак Коши сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов.
- •Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
- •Действия над сходящимися рядами
- •Умножение абсолютно сходящихся рядов
- •Функциональные ряды
- •Критерии Коши равномерной сходимости функционального ряда
- •Функциональная последовательность
- •Свойства равномерно сходящихся функций последовательностей
- •Свойство равномерно сходящихся рядов
- •Признак Вейерштрасса
- •Степенные ряды. Радиус сходимости
- •Теорема Абеля
- •Свойство сторонних рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Вычисление определенных интегралов
- •Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье для чётных и нечётных функций
- •Разложение в ряд Фурье непериодической функции
- •Интеграл Фурье
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
Неоднородными линейными дифференциальными уравнениями n-го порядка называются уравнения вида: (1)
Где - некоторые заданные функции.
Каждому линейному неоднородному уравнению можно подставить в соответствие однородное уравнение приравняв правую часть к 0 (2)
Теорема: Если известно какое-либо частное решение Y неоднородного уравнения (1) то общее решение дифференциального уравнения (1), складывается из частного решения Y и фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения (2).
Доказательство:
Обозначим, левая часть уравнения 1 , можно переписать тогда
так как - решение уравнения (1), То подставим вместо у Y , получим . Перейдем в уравнении (1) к новой переменной Z. и дифференциальное выражение (1) можно представить в виде: .
Используя свойство линейности оператора L : .
Таким образом приходим к линейному однородному уравнению .
Если - фундаментальная система решения однородного уравнения , то функцию z можно представить в виде: при этом функция y принимает значение (3)
Покажем, что выражение (3) действительно является общим решением уравнения (1), для этого необходимо показать, что для любого начального условия , можно подобрать коэффициенты , так чтобы полное частное решение удовлетворяло начальным условиям.
Выпишем производные до (n-1) порядка
(3’)
Подставим в левую часть (3’) начальное условие, а в правой части значение ,получим:
(4)
Систему (4) можно рассмотреть как систему линейных уравнений относительно неизвестных .
Корневой определитель этой системы является определителем Вронского, вычисленным в точке . Следовательно, система (4) является совместной определенной, то есть выражение (3) действительно определяет общее решение уравнения (1). Теорема доказана.
Метод вариации постоянных
Теорема: Если известно фундаментальная система решений соответствующего линейного уравнения (2), то общее решение линейного неоднородного уравнения (1) выражается в квадратурах.
Доказательство: (6)
Продифференцируем (6) по x, в результате получим:
При этом первая производная будет выражаться соотношением: (6’)
Вычислим вторую производную функции y:
Наложим на функцию условие, (7)
Поступая аналогично, вычислим все производные до (n-1) порядка включительно.
(7’)
Вычислим затем n-ую производную:
(6’)
Подставляя (6) и (6’) в (1), найдем, (8)
Поскольку является фундаментальной системой решений, те удовлетворяет уравнению (2), то выражение, стоящее в круглых скобках = 0, добавим к системе (7) полученное уравнение (8). Переходим к системе линейных уравнений относительно производной:
(9)
Определитель Вронского отличен от 0, система (9) является совместно определенной
(10)
Находим: (11)
Подставляя (11) в (6), находим общее решение уравнения (1).
Линейно дифференциальное уравнение используя выражение , можно рассматривать, с точки зрения метода вариации произвольных постоянных ,так из 2 функций u.v одна является решением соответственно однородного уравнения.
Пример:
Найти общее решение дифференциального уравнения:
, Рассмотрим соответствующее однородное уравнение,
Будем искать общее решение методом вариации постоянных.
Получаем
- общее решение неоднородного уравнения
Заметим, что в случае общего линейного дифференциального уравнения 2 порядка
- однородное уравнение.
Понижение порядка не всегда позволяет решить уравнение.
Уравнение Рикати, и в общем случае оно не разрешимо в квадратурах.