- •Дифференциальные уравнения.
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Элементарные методы интегрирования (оду первого порядка)
- •I. Дифференциальное уравнение первого порядка не содержащее явно искомую функцию.
- •II. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •III. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •IV. Уравнение Бернулли:
- •V. Уравнения полных дифференциалов:
- •Особые точки
- •Особые решения
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков
- •Автономное уравнение второго порядка
- •Линейные однородные уравнения n-го порядка
- •Определитель Вронского
- •Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •Метод вариации постоянных
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Геометрический смысл системы уравнений первого порядка
- •Первые интегралы
- •Линейные системы с постоянными коэффициентами
- •Устойчивость положения равновесия (устойчивость по первому приближению)
- •Сравнение рядов с положительными членами
- •Расходимость гармонического ряда
- •Радикальный признак Коши, сходимости рядов с положительными членами
- •Интегральный признак Коши сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов.
- •Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
- •Действия над сходящимися рядами
- •Умножение абсолютно сходящихся рядов
- •Функциональные ряды
- •Критерии Коши равномерной сходимости функционального ряда
- •Функциональная последовательность
- •Свойства равномерно сходящихся функций последовательностей
- •Свойство равномерно сходящихся рядов
- •Признак Вейерштрасса
- •Степенные ряды. Радиус сходимости
- •Теорема Абеля
- •Свойство сторонних рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Вычисление определенных интегралов
- •Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье для чётных и нечётных функций
- •Разложение в ряд Фурье непериодической функции
- •Интеграл Фурье
Вычисление определенных интегралов
Существуют определенные интегралы, которые как функции переменного верхнего предела не выражаются через элементарные функции, такие интегралы часто могут быть вычислены с помощью степенных рядов.
Пример:
.
Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Для этого воспользуемся разложением sin в ряд Макларена.
Известно, что сходящиеся ряды можно складывать, вычитать, умножать на число, и если ряды сходятся абсолютно их можно перемножить. Умножим степенной ряд для sin на , в результате получим ряд: .
Подставим полученный степенной ряд под знак интеграла: = =
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
Известно, что решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами выше первого порядка в общем случае не выражаются через элементарные функции. Наиболее употребительный прием получения решения является поиск решения в виде степенного ряда. Продемонстрируем процедуру поиска решений, для случая решения линейного дифференциального уравнения второго порядка.
Рассмотрим дифференциальное уравнение в виде:
Предположим, что функции разлагаются в степенные ряды, пусть:
Где коэффициенты и , считаются известными числовыми значениями. Будем искать решение уравнения (1) также в виде степенного ряда:
Подставим выписанные степенные ряды в дифференциальное уравнение (1):
Подставляя в (1), найдем:
+
Поскольку степенные ряды в области сходимости сходятся абсолютно, то их можно перемножить. Заметим, что соотношение должно выполняться тождественно для всех значений х. Подставим в величину х=0, получим:
Продифференцируем тождество по переменной х:
+
Подставим в полученное выражение величину х=0, получим:
Поступая аналогично, получим также уравнение:
Видим, что система (2) есть система линейных однородных уравнений относительно переменных . Видим, что система (2) имеет форму трапеции следовательно это система является неопределенной. Фундаментальная система решений состоит из двух равномерных векторов. Выберем величины , -свободными переменными, тогда из первого уравнения находим величину , из второго , и т.д.
Обычно полагают , =0, для первого решения, и , =1 для второго решения. С учетом степенного ряда для функции у,
Если начальные условия имеют вид:
, то решение будет определяться в виде:
Пример:
Рассмотрим уравнение:
Будем искать решение в виде:
Здесь неизвестными величинами являются коэффициенты ряда . Приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим:
Полагая, , , , , , , , , , .
Замечаем, что отличными от 0 будут те коэффициенты, у которых номер к делится на 3. в это случае получаем:
.
Решение будет в этом случае иметь вид:
Полагая, , , придем к решению : .
Общее решение исследуемого уравнения можно записать в виде: