35. Геометрический смысл дифференциала первого порядка.

Пусть дана нект плоская непрерывная кривая ℓ: y=f(x).

(.) M₀ ℓ - фиксированная (стационарная) точка

y

(.) M ℓ - текущая точка кривой

y

M

∆y

l_k

M₀

N

y₀

x

∆x

x

x₀

M₀M – секущая

Секущая будет менять свое положение в зависимости от (.) M.

Предельное положение секущей M₀M(если оно при M → M₀) - касательная к кривой ℓ в (.)M₀.

Пусть в системе Oxy кривая задана уравнением y=f(x).

(.) M₀(x₀,y₀); (.)M(x,y);

приращение функции

x-x₀=∆x – приращение аргумента

f(x)-f(x₀)= ∆f(x)

y-y₀=∆ y

∆ y=f(x+∆x)-f(x₀)

Найдём угловой коэффициент секущей M₀M из треугольника M₀MN:

Зависит только от ∆x.

(.)M → (.)M₀ ∆x→0 => угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой L в (.)M₀ получается предельным переходом в равенстве (1) при ∆x=0.

Если lim и он конечен => уравнение касательной к кривой y=f(x) в (.)x₀ y-y₀=k(x-x₀) ↔ k-угловой коэффициент касательной.

35. Дифференциалы высшего порядка.

и т.д.

Понятие производной более высоких порядков, чем первый, обобщается на любой порядок n 2, n N.

Порядок производной, начиная с 4, как правило, указывается в скобках. Напр. .

Производная порядка n, n N – производная от производной n-1 порядка, т.е. .

Операции дифференцирования n-го порядка обладают свойством линейности, т.е. для производной порядка n справедливы равенства:

1. 

2. 

Иначе с дифференциалами произведения и частного.

Дифференц. произведение:

1. Дифференц. 1-го порядка

2. Дифференц. 2-го порядка

3. Дифференц. 3-го порядка

Т.о. производная 2-го порядка для произведения 2-x функций вычисляется по формуле аналогичной квадрату суммы, а третьего порядка аналогично кубу суммы. ММИ можно легко доказать, что производной произведения любого порядка n, , вычисляется по формуле, аналогичной формуле бинома ньютона, т.е.

(.)M₀ ≠ (.)M

- формула Лейбница

При вычислении производного частного деление можно заменить на произведение и применить формулу Лейбница или же дифференцировать дробь последовательно.

37. Необходимые и достаточные условия монотонности и экстремума функции.

Достаточные признаки монотонности функции.

Если f ’( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.

Если f ’( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция f ( x ) убывает на этом интервале.

Теорема Дарбу. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум.

Необходимое условие экстремума. Если x0 - точка экстремума функции f ( x ) и производная f’ существует в этой точке, то f’ ( x0 ) = 0.

Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции f ( x ) = x 3 равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке.

Достаточные условия экстремума.

Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с плюса на минус, то x0 - точка максимума.

Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с минуса на плюс, то x0 - точка минимума.